next up previous
Next: About this document ...

    

���ϳ� IA�齬 No.5

���� 5.1  

$\displaystyle f:$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^2 \ni (r,\theta) \mapsto (r\cos(\theta),r\sin(\theta))\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^2 $

�ˤĤ��ơ� $ f$ �� $ (r_0,\theta_0)$ �ˤ�������ʬ $ Df_{(r_0,\theta_0)}$ �� ���ι��� $ \operatorname{det}(Df_{(r_0,\theta_0)})$ ����衣

���� 5.2  

$\displaystyle f:$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^3 \ni (r,\theta,\phi) \mapsto (r\cos(\theta)\cos(\phi),r\sin(\theta)\cos(\phi),r\sin(\phi))\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^3 $

�ˤĤ��ơ� $ f$ �� $ (r_0,\theta_0,\phi_0)$ �� ��������ʬ $ Df_{(r_0,\theta_0,\phi_0)}$ �� ���ι��� $ \operatorname{det}(Df_{(r_0,\theta_0,\phi_0)})$ ����衣

���� 5.3 (��1)   $ f(x,y)=x^2 y$ �ˤ������ơ�
  1. $ x=u,y=u+v^3$ �Ȥ����ơ�$ f(x,y)$ �� $ u,v$ �ǽ�ɽ���ʤ����� ����� $ g(u,v)$ �Ȥ��������ʤ����

    $\displaystyle g(u,v)=f(u,u+v^3). $

  2. ��Ƴ�ؿ� $ g_u, g_v$ �򤽤줾����衣
  3. ��ʬ��Ϣ��Χ

    % latex2html id marker 883 $\displaystyle g_u = f_x x_u + f_y y_u ,\quad g_v = f_x x_v + f_y y_v. $

    �򤳤ξ��˳Τ���ʤ�����

���� 5.4 (��1)   $ f(x,y)=\sin(x)y $ �ˤ������ơ����� 5.3 ��(2) �� (3) �򷫤��֤��ʤ�����

���ѿ� $ (x,y)$ �δؿ� $ f(x,y)$ �˴ؤ�������ʬ������

$\displaystyle f_x=0 $

�ϡ���$ f$ �� $ y$ ��ߤ�� $ x$ ��ư�������Ȥ�������Ǥ���� �Ȥ������Ȥ��̣���Ƥ��뤫�顢���ΰ��̲�ϡ�

$\displaystyle f(x,y)=g(y) $

($ g(y)$ �ϡ�Ǥ�դΡװ��ѿ��ؿ�) �Ȥ�����������Ϳ�����롣�ʲ�������Ϥ����Ƨ�ޤ��������뤳�ȡ�

���� 5.5 (��1)   ���ѿ� $ (x,y)$ �δؿ� $ f$ �˴ؤ�������ʬ������

$\displaystyle f_x-f_y=0 $

��򤭤�����
  1. $ x=-u+v, y=u$ ���ѿ��Ѵ����ơ��嵭�������� $ g(u,v)=f(-u+v,u)$ �� �ؤ����������˽�ľ���ʤ�����
  2. ��������ʬ�������ΰ��̲����ʤ�����

���� 5.6   ���ѿ� $ (x,y)$ �δؿ� $ f$ �˴ؤ�������ʬ������

$\displaystyle f_x-2 f_y=0 $

��򤭤ʤ�����(�ҥ��:$ x,y$ ��Ŭ���˰켡�Ѵ����Ƥߤ衣)

���� 5.7   ���ѿ� $ (x,y,z)$ �δؿ� $ f$ �˴ؤ�������ʬ������

$\displaystyle f_x-2 f_y+3 f_z=0 $

��򤭤ʤ�����

���� 5.8 (�ۤä�����ϴְ�äƤ����Τǡ�����)  

���� 5.9 (��1)   ��ʬ��ǽ�ʰ��ѿ��ؿ� $ g(t)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���
  1. $ f(x,y)=g(x+y^2)$ �ʤ����ѿ��ؿ����Ф��ơ� ��Ƴ�ؿ� $ f_x,f_y$ �� $ g$ (�Ȥ�����ʬ)���Ѥ��ƽ񤭡� $ 2 y f_x -f_y=0$ �򤷤ᤷ�ʤ�����
  2. (������Ȥ�̵�ط��˰��̤����ѿ��ؿ� $ f$ �˴ؤ��ơ�) ����ʬ������ $ 2 y f_x -f_y=0$ ��(Ŭ�����ѿ��Ѵ����Ѥ���)�򤭤ʤ����� (�ҥ��:�������ѿ��ˤ� $ u=x+y^2$ �����٤��ɤ����⤦�������ѿ� $ v$ �Ȥ��Ƥ� $ x$ �� $ y$ �Τ����줫��Ȥ���ɤ��櫓������$ x,y$ �� $ u,v$ ���� �դ˲򤱤�ۤ����������ɤ�.)

���� 5.10 (��1)   ��ʬ��ǽ�ʰ��ѿ��ؿ� $ g(t)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���
  1. $ f(x,y,z)=g(x+y^2+z^3)$ �ʤ뻰�ѿ��ؿ����Ф��ơ� ��Ƴ�ؿ� $ f_x,f_y,f_z$ �� $ g$ (�Ȥ�����ʬ)���Ѥ��ƽ񤭡�

      $\displaystyle f_y=2 y f_x$    
      $\displaystyle f_z= 3 z^2 f_x$    

    �򤷤ᤷ�ʤ�����
  2. (������Ȥ�̵�ط��˰��̤λ��ѿ��ؿ� $ f$ �˴ؤ��ơ�) ϢΩ����ʬ������

      $\displaystyle f_y=2 y f_x$    
      $\displaystyle f_z= 3 z^2 f_x$    

    ��(Ŭ�����ѿ��Ѵ����Ѥ���)�򤭤ʤ�����

next up previous
Next: About this document ...
2009-05-28