解析学 IA 演習 NO.6

問題 6.1. n, m は 0 以上の整数とする。二変数関数 f(x, y) = x^{n}y^{m} にたいして、二階偏導関数 f_{xy}(= (f_{x})_{y}), f_{yx}(= (f_{y})_{x}) をそれぞれもとめ

よ。 (但し x^{0} は (x が 0 であるかどうかに関係なく) 1 であると本問では約束しておく。 )

問題 6.2. 二変数関数 f(x, y) = sin(xy^{2}) にたいして、二階偏導関数 f_{xy}(= (f_{x})_{y}), f_{yx}(= (f_{y})_{x}) をそれぞれもとめよ。

問題 6.3 (ペアノの例). (各 1) f : ℝ^{2} → ℝ を

f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy(x^{2}−y^{2})}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) のとき \\ 0 & (x, y) = (0, 0) のとき \end{cases}

で定義する。このとき, (1) f は (0, 0) で連続であることを証明しなさい。

(2) (a, b) ∈ ℝ^{2} が、 b ≠ 0 をみたすとき、 f_{x}(a, b) を求めなさい。 (3) a ∈ ℝ について、 f_{x}(a, 0) を求め、つづけて (前問と併せて)

f_{x}(0, b) を全ての b ∈ ℝ について求めなさい。

(4) a ∈ ℝ について、 f_{y}(a, 0) を求めなさい。

(5) f_{xy}(0, 0)(= (f_{x})_{y}(0, 0)) と (f_{y})_{x}(0, 0) とをそれぞれ求め、両者が等しいか確認しなさい。

補題 6.1. (絶対積分評価) 閉区間上の (ベクトル値) 関数

g : [a, b] → ℝ^{m}

が区分的に連続 (すなわち、 [a, b] の有限分割が存在してそのそれぞれの区間で連続) であるとき、

|| ∫_{a}^{b} g(x)dx|| ≤ ∫_{a}^{b} ||g(x)||dx

問題 6.4. (各 1)

(1) 定数関数 g(x) = v に対して上の補題を証明しなさい。

(2) v_{1}, v_{2} ∈ ℝ^{m} と a_{1} ∈ [a, b] が与えられていて、

g(x) = \begin{cases}v_{1} & if x ∈ [a, a_{1}] \\ v_{2} & if x ∈ (a_{1}, b] \end{cases}

で定まるような関数 g に対して、上の補題を証明しなさい。 (3) 一般の区分的に定数であるような関数に対して、上の補題を証

明しなさい。

一般の区分的に連続な関数については、上の問題の極限として補題が証明される。以下の問題では、とくに断らない限り、絶対積分評価を用いて良い。

問題 6.5. (各 1) f : ℝ → ℝ^{2} を

f(x) = (\begin{matrix}cos(x) \\ sin(x) \end{matrix})

で定義する。このとき、

(1) f(x) = f(0) + x ∫_{0}^{1} g(tx)dt を満たすような g を一つ求めなさい。 (以下本問では g といえばこの関数をさす。 )

(2) ||f(x) − f(0)|| ≤ |x| が任意の x ∈ ℝ について成り立つことを証明しなさい。

(3) ||g(x) − g(0)|| ≤ |x| が任意の x ∈ ℝ について成り立つことを証明しなさい。

(4) g(x) − g(0) = ∫_{0}^{1} h(sx)ds を満たすような h を一つ求めなさい。 (5) f の 0 での二次近似を求めなさい。すなわち、

f(x) = v_{0} + xv_{1} + x^{2}v_{2} + o(|x^{2}|)

なる v_{0}, v_{1}, v_{2} ∈ ℝ^{2} を求めなさい。

問題 6.6. (各 1) f : ℝ^{2} → ℝ^{2} を

f((\begin{matrix}r \\ θ \end{matrix})) = (\begin{matrix}e^{r} cos(θ) \\ e^{r} sin(θ) \end{matrix})

で定義する。このとき、 (1)

f((\begin{matrix}r \\ θ \end{matrix})) = f((\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix})) + ∫_{0}^{1} g(t (\begin{matrix}r \\ θ \end{matrix}))dt · (\begin{matrix}r \\ θ \end{matrix})

を満たすような二変数 M_{2}(ℝ) 値関数 g を一つ求めなさい。 (2)

||f((\begin{matrix}r \\ θ \end{matrix})) − f((\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix}))|| ≤ |\frac{e^{r} − 1}{r}|

が任意の (r, θ) ∈ ℝ^{2} について成り立つことを証明しなさい。ただし、 r = 0 のときには右辺の値は 0 と約束する。

(3) 一階偏導関数 f_{r}, f_{θ} をそれぞれ求めよ。

(4) 二階偏導関数 f_{rr}, f_{rθ}, f_{θθ} をそれぞれ求めよ。

(5) f の 0 での一次近似を求めなさい。すなわち、

f((\begin{matrix}r \\ θ \end{matrix})) = v_{0} + v_{10}r + v_{01}θ + o(|| (\begin{matrix}r \\ θ \end{matrix}) ||)

をみたす v_{0}, v_{10}, v_{01} を求めなさい。

(6) f の 0 での二次近似を求めなさい。 (その定義は類推するか、講義を

参照)