解析学 IA 演習 NO.7

問題 7.1. (全部で 1 点) f : ℝ^{2} → ℝ と (u, v) : ℝ^{2} → ℝ^{2} の合成関数に関する偏微分の連鎖律は

(※)  \{ \begin{matrix}f_{x} = f_{u} · u_{x} + f_{v} · v_{x} \\ f_{y} = f_{u} · u_{y} + f_{v} · v_{y} \end{matrix}

もっと正確に書くと、上の式は (f(u(x, y), v(x, y)))_{x} = f_{u}(u(x, y), v(x, y)) · u_{x}(x, y) + f_{v}(u(x, y), v(x, y)) · v_{x}(x, y) (f(u(x, y), v(x, y)))_{y} = f_{u}(u(x, y), v(x, y)) · u_{y}(x, y) + f_{v}(u(x, y), v(x, y)) · v_{y}(x, y)

の意味である。同様にして、

(1) f(u, v, w) (u, v, w は 2 変数 (x, y) の関数)

(2) f(u, v, w) (u, v, w は 3 変数 (x, y, z) の関数)

(3) f(u, v) (u, v は 3 変数 (x, y, z) の関数) の偏微分の連鎖律をそれぞれ (※) の形で書き出しなさい。詳しい計算や、証明は問わない。

問題 7.2. (全部で 1 点) 上の問題を次の場合について繰り返しなさい。ただし、「 t に関する偏微分」は適宜「t に関する微分」に読み替えること。

(1) f(u) (u は 1 変数 t の関数)

(2) f(u, v) (u, v は 1 変数 t の関数)

(3) f(u, v, w) (u, v, w は 1 変数 t の関数)

(4) f(u, v, w, z) (u, v, w, z は 1 変数 t の関数)

問題 7.3. a(f, g) : ℝ^{2} → ℝ, (f(u, v), g(u, v)) : ℝ^{2} → ℝ^{2} と (u(x, y), v(x, y)) : ℝ^{2} → ℝ^{2} の合成関数

a(f(u(x, y), v(x, y)), g(u(x, y), v(x, y)))

の x, y それぞれに関する偏微分を、前二問のように書き下しなさい。

問題 7.4. (それぞれ1) ℝ^{n} の二つの点(縦ベクトル) x = ^{t}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), a = t(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) に対して、

(1) f(0) = a かつ f(1) = x となるような、 (定数項をもつ) 一次式

で定まる写像

g(t) : ℝ → ℝ^{n}

を x, a を用いて表しなさい。

(2) ℝ^{n} の開集合 U で、 x, a を含む線分を含むようなものが与えられていて、 f : U → ℝ は C^{1} 級であるとする。このとき

f(g(t))

の t に関する微分を連鎖律を用いて求めなさい。

(3) 微分積分学の基本定理

a(1) − a(0) = ∫_{0}^{1} a′(t)dt

の a として、 f ∘ g を採用して、でてきた結果を書きなさい。

問題 7.5. (1) 微積分学の基本定理を用いて

e^{x} = 1 + x ∫_{0}^{1} e^{xt}dt

を示しなさい。 (2)

e^{x} = 1 + x ∫_{0}^{1} (1 + xt ∫_{0}^{1} e^{xtu}du) dt

であることを示し、ついで

e^{x} = 1 + x + x^{2} ∫_{0}^{1} (t ∫_{0}^{1} e^{xtu}du) dt

を示しなさい。

(3) 前小問を繰り返すことにより、

e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2}x^{2} + x^{3} · (三度積分を行った式)

の形の式を得なさい。 (4)

e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2} + O(|x|^{3})

を示しなさい。

問題 7.6. (各 1) 前問の真似をして、次の各問に答えなさい。 (1) sin(x) = x ∫_{0}^{1} cos(xt)dt を示しなさい。

(2) cos(x) = 1 − x ∫_{0}^{1} sin(xt)dt を示しなさい。

(3) 前問の (2) をマネて、 sin(x) を二度の積分を用いて書きなさい。 (4) 前問の (3) をマネて、 sin(x) を三度の積分を用いて書きなさい。 (5) 前問の (4) をマネなさい。

問題 7.7. (各 1) 前の 2 問は積分を何度も行う必要があって、煩わしい。部分積分をうまく利用することにより、一回の積分ですますことができる。条件の繁雑さ

を避けるため、この問題では f は ℝ 全体で定義された一変数実数値の C^{∞} 級関数であると仮定する。 (但しベクトル値であっても、証明は一字一句違わない。 )

(1) 微分積分学の基本定理

f(x) = f(0) + ∫_{0}^{x} f′(t)dt

を f′ にも適用し、 (f′(t) = f′(0)+∫_{0}^{t} … ds の形の式を得た後、 ) それを用いて、

f(x) = f(0) + xf′(0) + ∫_{0}^{x} ∫_{0}^{t} f′′(s)dsdt

を示しなさい。

(2) 部分積分をうまく利用することにより、

f(x) = f(0) + xf′(0) + ∫_{0}^{x}(x − t)f′′(s)dt

を示しなさい。

(3) もう一度同様のことを繰り返すことにより、

(T2)  f(x) = f(0) + xf′(0) + \frac{1}{2}f′′(0) + \frac{1}{2} ∫_{0}^{x}(x − t)^{2}f′′′(t)dt

を示しなさい。

一般の n に対しては

(Tn)  f(x) = ∑_{j=0}^{n} \frac{f^{(j)}(0)}{j!} · x^{j} + \frac{1}{n!} ∫_{0}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt

が成り立つ。

問題 7.8. (各 1) ℝ^{2} で定義された C^{∞} 級二変数関数 g(x, y) が与えられているとして、

f(t) = g(x + th, y + tk)

に対して、 (1) (T2) を適用した式を (偏微分を用いて) 書き下しなさい。

(2) 一般の n にたいして、 (Tn) を適用した式を (偏微分を用いて) 書き下しなさい。 (証明はしなくて良い。 )

問題 7.9. ベクトル値関数

f(x) = (\begin{matrix}cos(x) \\ sin(x) \end{matrix})

に (1) (T2)(のベクトル値版) を適用した式を書き下しなさい。

(2) (Tn)(のベクトル値版) を適用した式を書き下しなさい。いずれも証明はしなくても良い。

問題 7.10. (各 1) 二変数ベクトル値関数

f((\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})) = (\begin{matrix}y cos(x) \\ y sin(x) \end{matrix})

にたいして、 (a, b) を固定したとき、

(1) f(a + h, b + k) を h, k について 1 次の項まで近似した式を書きなさい。すなわち、

f(a + h, b + k) = c_{00} + c_{10}h + c_{01}k + o(||(h, k)||)

をみたすベクトル c_{00}, c_{10}, c_{01} ∈ ℝ^{2} を求めなさい。

(2) f(a + h, b + k) を h, k について 2 次の項まで近似した式を書きなさい。すなわち、

f(a + h, b + k) = c_{00} + c_{10}h + c_{01}k + c_{20}h^{2} + c_{11}hk + c_{02}k^{2} + o(||(h, k)||^{2})

をみたすベクトル c_{00}, c_{10}, …, c_{02} ∈ ℝ^{2} を求めなさい。

いずれも剰余項は (できれば) 積分の形で出すこと。

問題 7.11. (各 1) 前問の (1),(2) を

f((\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})) = (\begin{matrix}x + y \\ xy \end{matrix})

に対して繰り返しなさい。 (前問よりやさしいが、それゆえかえって戸惑うかも知れない。 ) なお、「剰余項」は積分で出さなくても良い。

問題 7.12. (各 1) 前問の (1),(2) を二変数関数

f((\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})) = x^{3} + y^{3}

に対して繰り返しなさい。

問題 7.13. F = {(x, y) ∈ ℝ^{2}|x, y ≤ 0, x + y ≤ 2} なる閉集合で定義された関数

f(x, y) = (1 − x)(1 − y)(x + y − 1)

に対して、

(1) f_{x} ,f_{y} を計算し、それらがともに 0 になる点 (a, b) で、 f(a, b) ≠ 0 になるものを求めなさい。

(2) 上の a, b で、 f を二次近似しなさい。

(3) 周の長さが 2 の三角形のうち、面積が最大のものはなにか。 (ヒ

ント:ヘロンの公式)