解析学 IA演習 No.7

問題 7.1 (全部で1点)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ と $(u,v):$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の合成関数に関する 偏微分の連鎖律は

$$\begin{cases}&f_x= f_u\cdot u_x + f_v \cdot v_x &f_y= f_u\cdot u_y + f_v \cdot v_y \end{cases}$$ (※)

もっと正確に書くと、上の式は

$$(f(u(x,y),v(x,y)))_x= f_u(u(x,y),v(x,y))\cdot u_x (x,y) + f_v(u(x,y),v(x,y)) \cdot v_x(x,y)$$

$$(f(u(x,y),v(x,y)))_y= f_u(u(x,y),v(x,y))\cdot u_y (x,y) + f_v(u(x,y),v(x,y)) \cdot v_y(x,y)$$

の意味である。 同様にして、

1. $f(u,v,w)$ ($u,v,w$ は2変数 $(x,y)$ の関数)
2. $f(u,v,w)$ ($u,v,w$ は3変数 $(x,y,z)$ の関数)
3. $f(u,v)$ ($u,v$ は3変数 $(x,y,z)$ の関数)

の偏微分の連鎖律をそれぞれ(※)の形で書き出しなさい。 詳しい計算や、証明は問わない。

問題 7.2 (全部で1点)   上の問題を次の場合について繰り返しなさい。 ただし、「 $t$ に関する偏微分」は適宜「$t$ に関する微分」に 読み替えること。

1. $f(u)$ ($u$ は1変数 $t$ の関数)
2. $f(u,v)$ ($u,v$ は1変数 $t$ の関数)
3. $f(u,v,w)$ ($u,v,w$ は1変数 $t$ の関数)
4. $f(u,v,w,z)$ ($u,v,w,z$ は1変数 $t$ の関数)

問題 7.3   $a(f,g):$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $(f(u,v),g(u,v)):$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ と $(u(x,y),v(x,y)):$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の合成関数

$$a(f(u(x,y),v(x,y)),g(u(x,y),v(x,y)))$$

の $x,y$ それぞれに関する偏微分を、前二問のように書き下しなさい。

問題 7.4 (それぞれ1)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の二つの点(縦ベクトル) $x={}^t (x_1,x_2,\dots,x_n), a={}^t (a_1,a_2,\dots,a_n)$ に対して、

1. $f(0)=a$ かつ $f(1)=x$ となるような、(定数項をもつ)一次式で定まる写像
   $$g(t):$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\to$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n$$
   を $x,a$ を用いて表しなさい。
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の開集合 $U$ で、$x,a$ を含む線分 を含むようなものが 与えられていて、 $f:U\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ は $C^1$ 級であるとする。 このとき
   $$f(g(t))$$
   の $t$ に関する微分を連鎖律を用いて求めなさい。
3. 微分積分学の基本定理
   $$a(1)-a(0)=\int_0^1 a'(t) dt$$
   の $a$ として、$f\circ g$ を採用して、でてきた結果を書きなさい。

問題 7.5  

1. 微積分学の基本定理を用いて
   $$e^x=1+x \int_0^1 e^{x t} dt$$
   を示しなさい。

2. $$e^x= 1+ x\int_0^1 \left( 1+x t \int_0^1 e^{x t u} du \right)dt$$
   であることを示し、ついで
   $$e^x= 1+x+ x^2\int_0^1 \left( t \int_0^1 e^{x t u} du \right)dt$$
   を示しなさい。
3. 前小問を繰り返すことにより、
   $$e^ x= 1+x + \frac{1}{2}x^2 + x^3 \cdot$$   (三度積分を行った式)
   の形の式を得なさい。

4. $$e^ x= 1+x + \frac{1}{2} + O(\vert x\vert^3)$$
   を示しなさい。

問題 7.6 (各1)   前問の真似をして、次の各問に答えなさい。

1. $\sin(x)= x \int_0^1 \cos(x t) d t$ を示しなさい。
2. $\cos(x)= 1 - x \int_0^1 \sin(x t) d t$ を示しなさい。
3. 前問の(2)をマネて、$\sin(x)$ を二度の積分を用いて書きなさい。
4. 前問の(3)をマネて、$\sin(x)$ を三度の積分を用いて書きなさい。
5. 前問の(4)をマネなさい。

問題 7.7 (各1)   前の2問は積分を何度も行う必要があって、煩わしい。 部分積分をうまく利用することにより、一回の積分ですますことができる。 条件の繁雑さを避けるため、この問題では $f$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 全体で 定義された一変数実数値の $C^\infty$ 級関数であると仮定する。 (但しベクトル値であっても、 証明は一字一句違わない。)

1. 微分積分学の基本定理
   $$f(x)=f(0)+ \int_0^x f'(t) dt$$
   を $f'$ にも適用し、( $f'(t)=f'(0)+ \int_0^t \dots ds$ の形の式を得た後、) それを用いて、
   $$f(x)=f(0)+x f'(0)+\int_0^x\int_0^t f''(s) d s dt$$
   を示しなさい。
2. 部分積分をうまく利用することにより、
   $$f(x)=f(0)+x f'(0)+ \int_0^x (x-t) f''(s) dt$$
   を示しなさい。
3. もう一度同様のことを繰り返すことにより、

   $$f(x)=f(0)+ xf'(0)+ \frac{1}{2}f''(0)+ \frac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2 f'''(t) d t$$ (T2)

   
   
   を示しなさい。

一般の $n$ に対しては

$$f(x)= \sum_{j=0}^{n} \frac{f^{(j)}(0)}{j!} \cdot x^j + \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) d t$$ (Tn)

が成り立つ。

問題 7.8 (各1)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ で定義された $C^\infty$ 級二変数関数 $g(x,y)$ が与えられているとして、

$$f(t)=g(x+ t h , y+t k)$$

に対して、

1. (T2)を適用した式を(偏微分を用いて)書き下しなさい。
2. 一般の $n$ にたいして、(Tn)を適用した式を(偏微分を用いて)書き下しなさい。 (証明はしなくて良い。)

問題 7.9   ベクトル値関数

$$f(x)= \begin{pmatrix} \cos(x)\\ \sin(x) \end{pmatrix}$$

に

1. (T2)(のベクトル値版)を適用した式を書き下しなさい。
2. (Tn)(のベクトル値版)を適用した式を書き下しなさい。

いずれも証明はしなくても良い。

問題 7.10 (各1)   二変数ベクトル値関数

$$f( \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} y\cos(x)\\ y\sin(x) \end{pmatrix}$$

にたいして、 $(a,b)$ を固定したとき、

1. $f(a+h,b+k)$ を $h,k$ について1次の項まで近似した式を 書きなさい。すなわち、
   $$f(a+h,b+k)=c_{00} +c_{10} h + c_{01} k +o (\vert\vert(h,k)\vert\vert)$$
   をみたすベクトル $c_{00},c_{10},c_{01}\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を求めなさい。
2. $f(a+h,b+k)$ を $h,k$ について2次の項まで近似した式を 書きなさい。すなわち、
   $$f(a+h,b+k)=c_{00} +c_{10} h + c_{01} k + c_{20} h^2 +c_{11} hk + c_{02 } k^2+ o (\vert\vert(h,k)\vert\vert^2)$$
   をみたすベクトル $c_{00},c_{10},\dots, c_{02}\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を求めなさい。

いずれも剰余項は(できれば)積分の形で出すこと。

問題 7.11 (各1)   前問の(1),(2)を

$$f( \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} x+y\\ x y \end{pmatrix}$$

に対して繰り返しなさい。 (前問よりやさしいが、それゆえかえって戸惑うかも知れない。) なお、「剰余項」は積分で出さなくても良い。

問題 7.12 (各1)   前問の(1),(2)を二変数関数

$$f( \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix})= x^3+ y^3$$

に対して繰り返しなさい。

問題 7.13   $F=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\vert x,y \leq 0, x+y\leq 2\}$ なる閉集合 で定義された関数

$$f(x,y)= (1-x)(1- y) (x+y-1)$$

に対して、

1. $f_x$ ,$f_y$ を計算し、それらがともに 0 になる点 $(a,b)$ で、 $f(a,b)\neq 0$ になるものを求めなさい。
2. 上の $a,b$ で、$f$ を二次近似しなさい。
3. 周の長さが $2$ の三角形のうち、面積が最大のものはなにか。 (ヒント:ヘロンの公式)