解析学 IA 演習 NO.8

問題 8.1. (各 1) 一変数関数 f(x) = x^{2} − 2 にたいして、 Newton 法を用いることにより、\sqrt{2} の近似値を以下のようにして求めよ。

(1) \sqrt{2} の近似値 a(≠ 0) にたいし、 f の a での接線 ℓ の方程式を求め、 ℓ と x 軸との交点の x 座標を g(a) と置こう。 g(a) を具体的に a の式で書きなさい。

(2) a > 1 ならば g(a) > 1 かつ

|g(a)^{2} − 2| < \frac{1}{4}|a^{2} − 2|^{2}

であることを示しなさい。

(3) a ∈ [1, 4] ならば g(a) ∈ [1, 4] かつ

|g(a) − \sqrt{2}| < \frac{1}{2}|a − \sqrt{2}|^{2}

であることを示しなさい。

(4) a_{1} = 1, a_{n+1} = g(a_{n}) の最初の数項と、その小数展開 (意味のある桁までで良い。 ) を求めなさい。 ((1)-(3) が解けたあとにとくこと。 )

問題 8.2. (各 1) 一変数関数 f(x) = x^{3} − 5 について、前問と同様のことを考えよう。

(1) \sqrt[3]{5} の近似値 a に対して、 f の a での接線と x 軸との交点の x 座標 g(a) を計算しなさい。

(2) a が適当な範囲内ならば、 a より g(a) のほうが\sqrt[3]{5} のより良い近似であることを示しなさい。

問題 8.3. 二変数関数 f(x, y) = e^{x} sin(y) のグラフ Γ_{f} について、点 (a, b, f(a, b)) における Γ_{f} の接平面の方程式を書きなさい。問題 8.4. 一変数関数 f(t) = (cos(t), sin(t)) のグラフ Γ_{f} について、点 (t_{0}, cos(t_{0}), sin(t_{0})) における Γ_{f} の接線の方程式を書きなさい。問題 8.5. (各 1) 二変数関数ベクトル値関数

f((\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})) = (\begin{matrix}x + y − 4 \\ xy − 1 \end{matrix})

について、

(1) f のグラフの (a, f(a)) における接平面 α の方程式を求めよ。

v, w を変数とすれば、ヒント: w − f(a) = (Df|_{a}) · (v − a) の形である。言い替えると、 a の成分を (a_{1}, a_{2}), v の成分を (x, y) としたとき、 w − f(a) = f_{x}(a)(x − a_{1}) + f_{y}(a)(y − a_{2}) の形である。 v, w, f はそれぞれベクトルであることに注意すること。

(2) α と平面 {v = 0} との交点の座標を求めよ。それを g(a) と書こう。

(3) ベクトルの列 {v_{j}}_{j=1}^{∞} を、 v_{1} = e_{1} (基本ベクトル)、 v_{j+1} = g(v_{j}) で定義する。このとき、このベクトル列の最初の数項を (成分を小数を用いて) 書きなさい。

(4) 上のベクトル列 {v_{j}} の収束先を求めなさい。 (厳密な議論は問わないことにする。 )

問題 8.6. 対角行列 A = diag(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) について、その行列ノルム

sup_{x∈ℝ^{n}\\{0\}} \frac{||Ax||}{||x||}

を求めなさい。