解析学 IA演習 No.8

問題 8.1 (各1)   一変数関数 $f(x)=x^2-2$ にたいして、Newton法を用いることにより、 $\sqrt{2}$ の近似値を以下のようにして求めよ。

1. $\sqrt{2}$ の近似値 $a(\neq 0)$ にたいし、 $f$ の $a$ での接線 $\ell$ の方程式を求め、 $\ell$ と $x$ 軸との 交点の $x$ 座標を $g(a)$ と置こう。$g(a)$ を具体的に $a$ の式で書きなさい。
2. $a>1$ ならば $g(a)>1$ かつ
   $$\vert g(a)^2-2\vert <\frac{1}{4} \vert a^2-2\vert^2$$
   であることを示しなさい。
3. $a\in [1,4]$ ならば $g(a) \in [1,4]$ かつ
   $$\vert g(a)-\sqrt{2}\vert <\frac{1}{2} \vert a-\sqrt{2}\vert^2$$
   であることを示しなさい。
4. $a_1=1, a_{n+1}=g(a_n)$ の最初の数項と、 その小数展開(意味のある桁までで良い。)を求めなさい。 ((1)-(3) が解けたあとにとくこと。)

問題 8.2 (各1)   一変数関数 $f(x)=x^3-5$ について、前問と同様のことを考えよう。

1. $\sqrt[3]{5}$ の近似値 $a$ に対して、$f$ の $a$ での接線と $x$ 軸との 交点の $x$ 座標 $g(a)$ を計算しなさい。
2. $a$ が適当な範囲内ならば、 $a$ より $g(a)$ のほうが $\sqrt[3]{5}$ の より良い近似であることを示しなさい。

問題 8.3   二変数関数 $f(x,y)=e^x \sin(y)$ のグラフ $\Gamma_f$ について、 点 $(a,b,f(a,b))$ における $\Gamma_f$ の接平面の方程式を書きなさい。

問題 8.4   一変数関数 $f(t)=(\cos(t),\sin(t))$ のグラフ $\Gamma_f$ について、 点 $(t_0,\cos(t_0),\sin(t_0))$ における $\Gamma_f$ の接線の方程式を書きなさい。

問題 8.5 (各1)   二変数関数ベクトル値関数

$$f( \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} x+y-4\\ xy-1 \end{pmatrix}$$

について、

1. $f$ のグラフの $(a,f(a))$ における接平面 $\alpha$ の方程式 を求めよ。 $v,w$ を変数とすれば、 ヒント: $w- f(a)= (Df\vert _{a}) \cdot (v-a)$ の形である。 言い替えると、$a$ の成分を $(a_1,a_2)$ , $v$ の成分を $(x,y)$ としたとき、 $w- f(a)= f_x(a) (x-a_1) + f_y(a) (y-a_2)$ の形である。 $v$ , $w$ , $f$ はそれぞれベクトルであることに注意すること。
2. $\alpha$ と 平面 $\{v=0\}$ との交点の座標を求めよ。それを $g(a)$ と書こう。
3. ベクトルの列 $\{v_j\}_{j=1}^\infty$ を、 $v_1=e_1$ (基本ベクトル)、 $v_{j+1}=g(v_j)$ で定義する。 このとき、このベクトル列の最初の数項を(成分を小数を用いて)書きなさい。
4. 上のベクトル列 $\{v_j\}$ の収束先を求めなさい。 (厳密な議論は問わないことにする。)

問題 8.6   対角行列 $A=$diag$(a_1,a_2,\dots,a_n)$ について、 その行列ノルム

$$\sup_{x\in \mbox{${\mathbb{R}}$}^n\setminus \{0\}} \frac{\vert\vert A x\vert\vert}{\vert\vert x\vert\vert}$$

を求めなさい。