解析学 IA 演習 NO.9

問題 9.1. A ∈ M_{m,l}(ℝ), B ∈ M_{k,l}(ℝ) に対して、次の二条件は同値であることを示しなさい。

(1) ∀v ∈ ℝ^{l}(Bv = 0 ⟹ Av = 0).

(2) ∃L ∈ M_{m,k}(ℝ) があって、 A = LB がなりたつ。

ℝ^{l} 上の共通の定義域を持つ (実数値もしくはベクトル値) 関数 f, g が与えられているとする。ラグランジュの未定乗数法は、 g(x) = 0 を満たすような x のうちで f(x) の停留値を議論するのに使われる。 g(a) = 0 なる a で f が停留するとしよう。 g(x) = 0 を満たす x の全体は

{a + h; (Dg)_{a}h = 0}

なる空間 (接線ならぬ「接線形多様体」 ) で近似される。この空間上 f が停留するということは、

(Dg)_{a}h = 0 ⟹ (Df)_{a}h = 0

ということである。前問よりこれは Dg|_{a} = LDf|_{a} をみたす行列 L が存在することと同値である。行列 L を「未定乗数」としてあらたな変数に組み込むのが素晴しいアイディアである。が、理論は二の次である。 (だったら書くな。 ) 未定乗数法の最大の良さはその使い勝手の良さにある。以下の数問を参照。

問題 9.2. (各 1) x^{2} + y^{2} = 1 を満たす x, y について、 f(x) = xy の極大、極小を議論したい。

(1) F (x, y, λ) = xy + λ(x^{2} + y^{2} − 1) にたいして、 F_{x}(a, b, l) = 0, F_{y}(a, b, l) = 0, F_{λ}(a, b, l) = 0 を同時に満足する a, b, l を求めなさい。

(2) 上のような (a, b, l) について、 f(x) が円周上の極大、極小点であるか (三角関数を用いずに) 調べなさい。

(3) 三角関数を用いて、上の結論を再確認しなさい。

問題 9.3. (実) 二次曲線 g(x, y) = 7x^{2} − 2xy + 31y^{2} − 1 = 0 上の点のうち、原点からもっとも近い点ともっとも遠い点をそれぞれ求めなさい。

(ヒント: g(x, y) = 0 なる条件下で x^{2} + y^{2} の停留条件を未定乗数法で求めよ。 )

問題 9.4. 実二次曲線 x^{4} + y^{4} = 1 について、前問を繰り返しなさい。

問題 9.5. 実二次曲線 x^{3} + y^{3} = 1 について、前問を繰り返しなさい。

(距離最小の点は存在するが、最大の点は...)

問題 9.6. 条件 xy + yx + zx = 3, xyz = 1 を満たす (x, y, z) のなかで、 f(x, y, z) = x + y + z の値の停留値を見たい。そこで

F (x, y, z, λ, μ) = x + y + z + λ(xy + yz + zx − 3) + μ(xyz − 1)

を考えて、 F_{x}, F_{y}, F_{z}, F_{λ}, F_{μ} の共通零点をもとめ、続いて f の与条件下での停留点および停留値をもとめよ。

問題 9.7. (各 1) 次の式でさだまる陰関数 y = φ(x) について、その微

分 φ′(x) を求めよ。 (ヒント:小テスト No.09, 教科書 p.127 演習問題)

(1) x^{2} + y^{2} = 1.

(2) 7x^{2} − 2xy + 31y^{2} − 1 = 0.

(3) x^{4} + y^{4} = 1.

(4) x^{3} + y^{3} = 1.

問題 9.8. (全部で 1) f は二変数の C^{2} 級関数と仮定する。このとき、 (1) 等式

f(a + h, b + k) − f(a + h, b) − f(a, b + k) + f(a, b)

=hk ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{1}(f_{y})_{x}(a + ht, b + ku)du) dt

と絶対積分評価を用いて、

lim_{(h,k)→(0,0)} \frac{1}{hk} (f(a + h, b + k) − f(a + h, b) − f(a, b + k) + f(a, b))

= (f_{y})_{x}(a, b)

を示しなさい。

(2) (f_{y})_{x}(a, b) = (f_{x})_{y}(a, b) を示しなさい。

問題 9.9. ℝ^{m} の開集合 U 上定義された ℝ^{m}-値 C^{1} 関数 f と ℝ^{m} の開集合 V 上定義された ℝ^{m}-値連続関数 g が与えられていて、 g(V) ⊂ V かつ f ∘ g = id_{V} がなりたっていたとする。このとき、もし、点 a ∈ U で L = (Df)|_{a} が行列として可逆 (つまり、逆行列を持つ。言い換えると、 det(DL) ≠ 0) だったとすると、 g は b = f(a) において微分可能であって、

Dg|_{b} = L^{−1}

がなりたつことを示しなさい。

(ヒント:

g(b + k) = g(b) + L^{−1} · k + o(||k||)

がなりたつことを示せば良い。 x = g(b + k) とおけば、 k = (b+k)−b = f(x)−f(a) = L·(x−a)+o(||x−a||) = L·(x−a)+o(||g(b+k)−g(b)||). あとは g の連続性に着目すれば良い。 )

問題 9.10. 本問では、 M_{n}(ℝ) が行列ノルムに関して完備であることと、行列ノルムの (行列ノルムに関する) 連続性を自由に用いて良い。

(1) H ∈ M_{n}(ℝ) が、 ||H|| < 1 (行列ノルム) を満たせば、

S_{k} = 1_{n} + H + H^{2} + H^{3} + … H^{k}

とおくと、 {S_{k}} は行列ノルムに関してコーシー列であることを示しなさい。

(2) 上の仮定の下で、 1_{n} − H が逆元を持つことを示しなさい。

(3) GL_{n}(ℝ) ∋ X ↦ X^{−1} ∈ M_{n}(ℝ) の 1_{n} における一次近似が

(1_{n} + H)^{−1} = 1_{n}^{−1} + (−H) + o(||H||).

で与えられることを示しなさい。

(4) GL_{n}(ℝ) ∋ X ↦ X^{−1} ∈ M_{n}(ℝ) の A における一次近似が

(A + H)^{−1} = A^{−1} + (−A^{−1}HA^{−1}) + o(||H||).

で与えられることを示しなさい。

本問は X ↦ X^{−1} の A での微分係数が −A^{−1} • A^{−1} (つまり H ↦ −A^{−1}HA^{−1} なる線型写像) で与えられることを意味している。