解析学 IA演習 No.9

問題 9.1   $A \in M_{m,l}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ , $B\in M_{k,l}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ に対して、次の二条件は 同値であることを示しなさい。

1. $\forall v \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l (B v=0 \implies A v=0)$ .
2. $\exists L\in M_{m,k}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ があって、 $A=LB$ がなりたつ。

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ 上の共通の定義域を持つ(実数値もしくはベクトル値) 関数 $f,g$ が与えられているとする。 ラグランジュの未定乗数法は、$g(x)=0$ を満たすような $x$ のうちで $f(x)$ の停留値を議論するのに使われる。 $g(a)=0$ なる $a$ で $f$ が停留するとしよう。 $g(x)=0$ を満たす $x$ の全体は

$$\{a+h ;\quad (D g)_{a} h=0\}$$

なる空間(接線ならぬ「接線形多様体」)で近似される。この空間上 $f$ が停留するということは、

$$(D g)_a h=0 \implies (D f)_a h=0$$

ということである。前問よりこれは $Dg\vert _a=L Df\vert _a$ をみたす行列 $L$ が存在することと同値である。行列 $L$ を「未定乗数」としてあらたな 変数に組み込むのが素晴しいアイディアである。 が、理論は二の次である。(だったら書くな。) 未定乗数法の最大の良さはその使い勝手の良さにある。以下の数問を参照。

問題 9.2 (各1)   $x^2+y^2=1$ を満たす $x,y$ について、$f(x)=xy$ の極大、極小を 議論したい。

1. $F(x,y,\lambda)= x y + \lambda (x^2+y^2-1)$ にたいして、 $F_x(a,b,l)=0, F_y(a,b,l)=0, F_\lambda(a,b,l)=0$ を同時に満足する $a,b,l$ を求めなさい。
2. 上のような $(a,b,l)$ について、$f(x)$ が円周上の 極大、極小点であるか(三角関数を用いずに)調べなさい。
3. 三角関数を用いて、上の結論を再確認しなさい。

問題 9.3 (実)   二次曲線 $g(x,y)=7 x^2-2 x y + 31 y^2 -1=0$ 上の点のうち、 原点からもっとも近い点ともっとも遠い点をそれぞれ求めなさい。 (ヒント: $g(x,y)=0$ なる条件下で $x^2+y^2$ の停留条件を 未定乗数法で求めよ。)

問題 9.4   実二次曲線 $x^4+y^4=1$ について、前問を繰り返しなさい。

問題 9.5   実二次曲線 $x^3+y^3=1$ について、前問を繰り返しなさい。 (距離最小の点は存在するが、最大の点は...)

問題 9.6   条件 $xy+yx+zx=3$ , $xyz=1$ を満たす $(x,y,z)$ のなかで、 $f(x,y,z)=x+y+z$ の値の 停留値を見たい。そこで

$$F(x,y,z,\lambda,\mu)=x+y+z+\lambda(xy+yz+zx-3)+\mu(xyz-1)$$

を考えて、 $F_x,F_y,F_z,F_\lambda,F_\mu$ の共通零点をもとめ、 続いて $f$ の与条件下での停留点および停留値をもとめよ。

問題 9.7 (各1)   次の式でさだまる陰関数 $y=\varphi(x)$ について、その微分 $\varphi'(x)$ を 求めよ。(ヒント:小テストNo.09, 教科書 p.127演習問題)

1. $x^2+y^2=1$ .
2. $7 x^2- 2 x y + 31 y^2 -1=0$ .
3. $x^4+y^4=1$ .
4. $x^3+y^3=1$ .

問題 9.8 (全部で1)   $f$ は二変数の $C^2$ 級関数と仮定する。このとき、

1. 等式

   $$f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b)$$

   $$= h k\int_0^1 \left( \int_0^1 (f_y)_x (a+h t, b+ k u ) du \right) dt$$

   
   
   と絶対積分評価を用いて、

   $$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{1}{hk}\left( f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b) \right)$$

   $$=(f_y)_x(a,b)$$

   
   
   を示しなさい。
2. $(f_y)_x(a,b)=(f_x)_y(a,b)$ を示しなさい。

問題 9.9   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ の開集合 $U$ 上定義された $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ -値 $C^1$ 関数 $f$ と $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ の開集合 $V$ 上定義された $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ -値連続関数 $g$ が与えられていて、 $g(V)\subset V$ かつ $f\circ g={\operatorname{id}}_V$ がなりたっていたとする。 このとき、もし、点 $a\in U$ で $L=(Df)\vert _a$ が行列として可逆(つまり、 逆行列を持つ。言い換えると、 $\operatorname{det}(D L)\neq 0$ )だったとすると、 $g$ は $b=f(a)$ において微分可能であって、

$$D g\vert _b= L^{-1}$$

がなりたつことを示しなさい。

(ヒント:

$$g(b+k)=g(b)+L^{-1} \cdot k + o(\vert\vert k\vert\vert)$$

がなりたつことを示せば良い。 $x=g(b+k)$ とおけば、

$$k=(b+k)-b=f(x)-f(a)=L\cdot (x-a)+o (\vert\vert x-a\vert\vert) =L\cdot (x-a)+o (\vert\vert g(b+k)-g(b)\vert\vert).$$

あとは $g$ の連続性に着目すれば良い。)

問題 9.10   本問では、 $M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ が行列ノルムに関して完備であることと、行列ノルムの (行列ノルムに関する)連続性を自由に用いて良い。

1. $H\in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ が、 $\vert\vert H\vert\vert<1$ (行列ノルム)を満たせば、
   $$S_k=1_n+ H +H^2+ H^3+\dots H^k$$
   とおくと、$\{S_k\}$ は行列ノルムに関してコーシー列であることを示しなさい。
2. 上の仮定の下で、$1_n-H$ が逆元を持つことを示しなさい。
3. ${\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)\ni X \mapsto X^{-1} \in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ の $1_n$ における一次近似が
   $$(1_n+H)^{-1}=1_n^{-1} + (-H) + o(\vert\vert H\vert\vert).$$
   で与えられることを示しなさい。

4. ${\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)\ni X \mapsto X^{-1} \in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ の $A$ における一次近似が
   $$(A+H)^{-1}=A^{-1} + (-A^{-1} H A^{-1}) + o(\vert\vert H\vert\vert).$$
   で与えられることを示しなさい。

本問は $X\mapsto X^{-1}$ の $A$ での微分係数が $-A^{-1} \bullet A^{-1}$ (つまり $H\mapsto -A^{-1} H A^{-1}$ なる 線型写像)で与えられることを意味している。