解析学 IA演習 No.10

今回の演習では断らないかぎり、平面 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の座標関数として $x,y$ , 空間 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ の座標関数としては $x,y,z$ を用いることにする。

問題 10.1 (各1)   $a,b$ は正の実数とする。このとき 次の関数の正方形 $D=[0,a]\times [0,b]$ における定積分 $\int_D f(x,y) d \mu(=\iint_D f(x,y) d x d y$ ) をもとめなさい。 (重積分は自由に累次積分に直して良い。)

1. $f(x,y)=\sin(x)\cos(y)$ .
2. $f(x,y)=\sin(x+y)$ .
3. $f(x,y)=x^k y^l$ (ただし $k,l$ は正の整数。)
4. $f(x,y)=e^{x+y} \cos(x)$ .

問題 10.2 (各1)   正の実数 $x_1,x_2,y_1,y_2$ が与えられていて、$x_1<x_2$ かつ $y_1 <y_2$ がなりたっているとする。平面 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の点 $O=(0,0)$ , $A=(x_1,y_1)$ , $C=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ , $B=(x_2,y_2)$ で囲まれる平行四辺形の内部を $D$ とおく。このとき、

1. $\iint_D d x d y$ を求めなさい。
2. 正の整数 $l,m$ に対して、 $\iint_D x^l y^m d x d y$ を求めなさい。

いずれも、変数変換の公式を用いずに $D$ 上の 積分を累次積分のいくつかの和として表すことで解決すること。

問題 10.3 (各1)   $D=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2;x \geq 0 ,y\geq 0 , x^2 +y^2\leq 1\}$ において、次の積分を求めなさい。 ただし変数変換の公式は1変数の積分に限り用いても良い。

1. $\iint_D d x d y$ .
2. $\iint_D x d x d y$ .
3. $\iint_D x y d x d y$ .
4. $\iint_D x^l y^m d x d y$ ($l,m$ は正の整数).

問題 10.4   3次元空間 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ の領域 $D=[0,a]\times [0,b]\times [0,c]$ における 積分

$$\iiint_D x^l y^m z^n$$

を計算せよ。もっと一般に $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ の領域

$$D=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times [a_3,b_3] \times\dots \times [a_m,b_m]$$

における積分

$$\int_D x_1^{l_1} x_2^{l_1} x_3^{l_1} \dots x_m^{l_m} d x_1 d x_2 \dots d x_m$$

を求めなさい。 ただし、 $l_1,l_2,\dots, l_m$ は正の整数、 $x_1,x_2,\dots,x_m$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ の 座標関数であるとする。