解析学 IA 演習 NO.11

問題 11.1. (各 1) 問題 10.2 の (1),(2) の各積分を適当な線形変換をもちいて簡単にしてから求めなさい。

問題 11.2. (各 1) 問題 10.3 の (1)-(4) の各積分を極座標に座標変換して計算しなさい。

問題 11.3. 半径 r(> 0) の (3 次元) 球体

V : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}

の体積を V の x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 の部分を 8 倍することにより求めよ。

問題 11.4.

D = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; (x + 2y)^{2} + 4y^{2} ≤ 10^{2}}

とおくとき、 (1) D の概形を描け。

(2) D の面積を求めよ。

問題 11.5. f(x, y) = 25x^{2} + 10xy + 170y^{2} とおく。このとき、

(1) f(x, y) = 10^{2} をみたす (x, y) のなかで、原点からもっとも遠い点と、もっとも近い点を求めよ。

(2) D = {(x, y); f(x, y) ≤ 10^{2}} の概形を描け。

(3) D の面積を求めよ。

問題 11.6. 半径 r(> 0) の (3 次元) 球体

V : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}

の体積を極座標

x = r sin(θ) cos(φ)
y = r sin(θ) sin(φ)
z = r cos(θ)

に変換することにより求めなさい。