解析学 IA演習 No.11

問題 11.1 (各1)   問題10.2 の(1),(2)の各積分を適当な線形変換をもちいて簡単にしてから 求めなさい。

問題 11.2 (各1)   問題10.3 の(1)-(4)の各積分を極座標に座標変換して計算しなさい。

問題 11.3   半径 $r(>0)$ の(3次元)球体

$$V: x^2+y^2+z^2\leq r^2$$

の体積を $V$ の $x\geq 0,y\geq0,z\geq0$ の部分を8倍することにより求めよ。

問題 11.4  

$$D=\{(x,y)\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2; (x+2y)^2 + 4 y^2\leq 10^2\}$$

とおくとき、

1. $D$ の概形を描け。
2. $D$ の面積を求めよ。

問題 11.5   $f(x,y)=25 x^2 + 10 x y +170 y^2$ とおく。このとき、

1. $f(x,y)=10^2$ をみたす $(x,y)$ のなかで、原点からもっとも 遠い点と、もっとも近い点を求めよ。
2. $D=\{(x,y); f(x,y)\leq 10^2\}$ の概形を描け。
3. $D$ の面積を求めよ。

問題 11.6   半径 $r(>0)$ の(3次元)球体

$$V: x^2+y^2+z^2\leq r^2$$

の体積を極座標

$$x=r \sin(\theta)\cos(\varphi)$$

$$y=r \sin(\theta)\sin(\varphi)$$

$$z=r\cos(\theta)$$

に変換することにより求めなさい。