微分積分学概論 AI 要約 NO.1

本講義の目的 : 極限と連続性の詳論

高校までの数学が「料理を味わう勉強」とするなら、この講義での数学は「料理を作る勉強」である。料理を作ると言っても、「野菜を畑で作る」とか「魚を養殖する (釣って来る)」ところから始めると大変なので、ある程度は出来合いのものをもちいる。他方で、「レトルトを温めておしまい」では料理とはよべない。少なくともそれで料理が上手くなることはないだろう。

「料理」のプロセスのうち、どこを学んでいるのかを意識しながら学ぶことが大事である。

◎この講義で用いて良いもの (材料): 整数、有理数、実数の、和、差、積、商、等号、不等号。 ◎この講義で作るもの (料理): 極限、収束、連続。

第一回目の主題 : 数学の表記法

定義 1.1. 以下この講義では次のような記号を用いる。 (1) ℤ : 整数全体のなす集合。

(2) ℚ : 有理数全体のなす集合。

(3) ℝ : 実数全体のなす集合。

(4) ℂ : 複素数全体のなす集合。

◎集合と、その元との区別が大事。「実数の集合を一つ考える。」というのと、「実数を一つ考える。」というのをよく意識して区別すること。

1.1. 写像、全射、単射、全単射.

定義 1.2. (“1.1.4”) 集合 X から Y への写像 f が与えられているとは、 X の各元 x に対して、それに対応する元が (“正しく計算すれば誰でも同じ答えが得られるように”) 与えられているときにいう。

f が単射であるとは、 X の相異なる元 x_{1}, x_{2} にたいしてはいつでも f(x_{1}) ≠ f(x_{2}) がなりたつときにいう。

f が全射であるとは、 Y のどの元 y にたいしても、 X のある元 x があって、 f(x) = y がなりたつときにいう。

1.2. 実数の集合の例、上限、上界.

定義 1.3. (“1.1.3”) 実数 a, b について、閉区間 [a, b] と開区間 (a, b) をつぎの式で定める。

[a, b] = {x ∈ ℝ|a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ ℝ|a < x < b}

◎ [a, b] には端点があって、そこでのようすは [a, b] のほかの点のようすと大きく異っている。それに対して、 (a, b) の各点はどの点も似ている。

定義 1.4. (“1.1.2”) ℝ の部分集合 A が与えられているとする。このとき

(1) a ∈ ℝ が A の上界 (upper bound) であるとは、

∀x ∈ A(x ≤ a)

(つまり、どの x ∈ A をもってきても x ≤ a ) が成り立つときに言う。

(2) a ∈ ℝ が A の上限 (supremum) であるとは、 A の上界のうち最小のものをいう。

◎集合の上界は存在するとは限らない。また、上界が存在したとすると、それはいくつもある。

例 1.5. T = {土佐電鉄の運賃} = {100, 180, 190, 260, 340, 380, 400, 440, 470, 500} とおく。このとき、

(1) T の上界としては、 1000 がある。これは「土佐電鉄に乗るときは 1000 円あればお金が足りないことはない」ことを意味している。

(2) T の上界としては、他にも 500, 一万、十万、 951.777.. 等がある。 (3) T の上限は 500 である。

例 1.6. (最大値を持たないが上限を持つ集合たち)

(1) \{\frac{n−1}{n}; n = 1, 2, 3, … \} は上限 1 をもつ。

(2) {x ∈ ℝ; x < 2} は上限 2 を持つ。

(3) \{x ∈ ℚ; x^{2} < 2\} は上限\sqrt{2} を持つ。

定義 1.7. (“1.1.2”) 集合 A ⊂ ℝ が上に有界であるとは、 A が上界を少なくとも一つもつときに言う。

次の定理は実数の基本的な性質である。次回以降詳しく解説する。

定理 1.8. (“定理 1.1”) ℝ の部分集合 A で、上に有界なものは、必ず上限を唯一つもつ。

例題 1.9.

S = {x ∈ ℝ; x^{3} − 25x < 0}

は上界をもつだろうか、もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。

(解答)

S = (−∞, −5) ∪ (0, 5)

である。したがって、 S は上界 10 をもち、上に有界である。

上界は一つ挙げれば十分である。上の例題なら 5 (上限) でも良いし、 100 でもよい。下の「問題」のように S が具体的に分かりにくい場合には、つぎのような別解が参考になる。

(別解) まず、 M = 100 とおくと、 S の元 s は s ≤ M を満たす。なぜなら、もし s > M なる s ∈ S が存在したとすると、

s^{3} − 25s = s^{2} · s − 25s > 10000 · s − 25 · s = 9975s > 0

となって、これは s ∈ S に反する。

したがって、 S のどの元も、 M 以下である。すなわち、 M は S の上界の一つである。

旅行に行くとき、かかる旅費をキッチリ計算して、その分のお金しか持って行かない人は少なかろう。「大体△万円あれば十分」とか見積もる。これが上界の考え方。

問題 1.1.

S = {x ∈ ℝ; x^{4} − 2x^{3} + 3x^{2} + 4x − 5 < 0}

は上界をもつだろうか、もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。