微分積分学概論AI要約 No.2

$\bullet$ 定義とは、 言葉の使い方のとりきめのことである。 数学では、どのような言葉も、そのような取り決めなしで使われることはない。 (ただし、「整数」「有理数」、「和」、「積」などの言葉をきちんと定義するのは 手間がかかる。 それらについて詳細に定義するのは この講義では控える。 (端的に言えば、整数は帰納法を援用して定義し、 有理数は整数の「商」 $m/n$ に適当な「等しいかどうかの判定規則」と 定義する。) それらについて詳細に定義するのは この講義では控える。 実数は有理数の極限として 定義するのだが、今日はその「極限」の話題である。)

$\bullet$ $\forall$ と $\exists$ とはなにか。

$$\forall x ....$$

は、「どんな $x$ に対しても、 $....$ がなりたつ」という意味。

$$\exists x ....$$

は、「なにかある一つの $x$ に対しては、 $....$ がなりたつ」という意味で用いる。

正の整数の全体のことをこの講義では ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ と書く。 数列とは、数学的には次のように定義できる。

定義 2.1   実数列 $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ とは、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ への写像 のことである。

数列が「収束する」ということの厳密な定義をしよう。 それには、絶対値を用いる。

定義 2.2  

$$% latex2html id marker 973\vert x\vert= \sqrt{x^2} = \begi... ...x & \text{ if } x\geq 0\\ -x & \text{ if } x< 0\\ \end{cases}$$

(ただし平方根は0以上のほうを選ぶ。)

上の平方根を使う定義は次のように 高次元の空間にも容易に拡張できるという長所を持つ。

$$\vert\vert(x_1,x_2,\dots,x_n)\vert\vert=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots + x_n^2}$$

次の三角不等式も実は高次元の場合にも成り立つ。

定理 2.3 (三角不等式)   任意の実数 $x,y$ に対して、

$$\vert x+ y\vert \leq \vert x\vert+\vert y\vert$$

がなりたつ。

いよいよ収束性の定義を述べよう。

定義 2.4   実数列 $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ が実数 $c$ に収束するとは、

$$\forall \epsilon>0 \exists N \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} (n>N \implies \vert a_n -c\vert<\epsilon)$$

がなりたつときに言う。

この定義が使いこなせるようになれば、この講義の目標の 80% は 達せられたと言って良い。

例題 2.5   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n= \begin{cases} 1 & \text{$n$ が $10$ の倍数のとき}\\ 0 & \text{その他のとき}\\ \end{cases}$$

で定義するとき、 $\{a_n \}$ は何かある値に収束するだろうか。 上の定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

解答   収束しない。

(証明) 背理法で、$\{a_n \}$ がある数 $c$ に収束したとする。 収束の定義の $\epsilon$ として $\frac{1}{2}$ を採用しよう。 ある $N_0$ が存在して、

$$n>N_0 \vert a_n-c\vert <\frac{1}{2}$$ (※)

が成り立つはずである。そこで

(Small sample i).

上の $n$ として $N_0$ より大なる $10$ の倍数、たとえば、$n=10 N_0$ をとると、

$$\vert 1-c\vert<\frac{1}{2}$$

がわかり、

(Small sample ii).

上の $n$ として $N_0$ より大なる数で、 $10$ の倍数でないもの、たとえば、 $n=10 N_0+1$ をとると、

$$\vert-c\vert<\frac{1}{2}$$

がわかる。

上の (sample i,ii)をあわせると、

$$1=\vert 1-0\vert \leq \vert 1-c\vert+\vert c-0\vert<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} =1$$

となって矛盾である。

よって、$\{a_n \}$ はいかなる値にも収束しない。

例題 2.6   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n= \begin{cases} 1/n & \text{$n$ が $10$ の倍数のとき}\\ 0 & \text{その他のとき}\\ \end{cases}$$

で定義するとき、 $a_n$ は何かある値に収束するだろうか。 上の定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

解答   $\{a_n \}$ は 0 に収束する

(証明) 与えられた $\epsilon\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ にたいして、 $N_0$ として、 $1/\epsilon$ より大きい整数を一つとっておく。 (そのようなもの(すなわち与えられた実数よりも大きな整数) が存在することは、「アルキメデスの原理」として 保証されているが、マアさしあたっては当り前だと思っても良い。)

この $N_0$ が収束の定義の $N$ の役割を果たすことを示そう。 実際、 $n>N_0$ なる任意の $n$ にたいして、

1. $n$ が $10$ の倍数なら、
   $$\vert a_n-0\vert =\frac{1}{n}< \frac{1}{N_0}<\epsilon$$

2. $n$ が $10$ の倍数でないなら、
   $$\vert a_n-0\vert =0<\epsilon$$
   となって、いずれの場合にせよ $\vert a_n-0\vert<\epsilon$ が成り立つからである。

問題 2.1   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n= \begin{cases} \frac{n-1}{n} & \text{$n$ が $10$ の倍数のとき}\\ 0 & \text{その他のとき}\\ \end{cases}$$

で定義するとき、 $\{a_n \}$ は何かある値に収束するだろうか。 上の定義に基づいて理由を述べて答えなさい。