微分積分学概論 AI 要約 NO.3

数列の収束の定義とそれに関する諸定理

収束の定義は前回の定義 2.4 で述べた通りである。それでは定義 2.4 の判定法を満たす c は唯一つだろうか？

定理 3.1. 数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} が (ある人が確かめたところ) c に収束し、 (別の人が確かめたところ) c′ にも収束するなら、

c = c′

である。つまり、数列の収束先は存在するとしたら唯一つしかない。

そこで、つぎのように定義することができる。

定義 3.2. 数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} がある数 c に収束するとき、

lim_{n→∞} a_{n} = c

と書いて、 c のことを {a_{n}} の極限と呼ぶ。定理 3.3. (“定理 1.2”)

(1)

lim_{n→∞} a_{n} = α ⇔ lim_{n→∞} |a_{n} − α| = 0

(2) a_{n} ≤ b_{n} (∀n) で、かつ {a_{n}}, {b_{n}} が収束するなら、

lim_{n→∞} a_{n} ≤ lim_{n→∞} b_{n}

(3) a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} (∀n) で、かつ {a_{n}}, {b_{n}} が同じ数 α に収束す

るなら、 {c_{n}} も α に収束する。定理 3.4. (“定理 1.3”) 収束する数列は有界である。定理 3.5. (“定理 1.4”) 実数列 {a_{n}}, {b_{n}} はそれぞれ収束するとする。このとき、

(1) 「極限をとる」という操作は線形である。すなわち、 ∀λ, μ ∈ ℝ

に対して lim_{n→∞}(λa_{n} + μb_{n}) は収束して、

lim_{n→∞}(λa_{n} + μb_{n}) = λ( lim_{n→∞} a_{n}) + μ( lim_{n→∞} b_{n})

(2) 「実数の乗法は連続である。」

lim_{n→∞}(a_{n}b_{n}) = ( lim_{n→∞} a_{n})( lim_{n→∞} b_{n})

(3) 実数の除法は「連続」である。もっと詳しく言うと、 lim_{n→∞} b_{n} ≠

0 なら、有限個の例外を除いて b_{n} ≠ 0 であって、

lim_{n→∞}(a_{n}/b_{n}) = ( lim_{n→∞} a_{n})/( lim_{n→∞} b_{n}).

定義 3.6. 実数列 {a_{n}} が単調増加であるとは、

∀n∀m(n ≥ m ⟹ a_{n} ≥ a_{m})

がなりたつときにいう。

次の定理は、既知の数から未知の数 (e など) を作り出すときに有効である。

定理 3.7. (“定理 1.5”) 上に有界な単調増加数列は収束する。問題 3.1. 実数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} が c に収束するとき、

{a_{n}^{3} − 5a_{n}^{2} + 7a_{n}}_{n=1}^{∞}

は収束すると言えるだろうか。言えるならばその収束先と理由を、言えないならば反例を作りなさい。 (注意: 今回の講義で証明する定理をただ用いるのではなく、収束の定義に戻って (ϵ-N 論法で) 説明すること。 )