微分積分学概論 AI 要約 NO.4

収束に関する諸定理 (2), 単調増加・減少数列．

定理 4.1. (テキスト “定理 1.4”) 実数列 {a_{n}}, {b_{n}} はそれぞれ収束するとする。このとき、

(1) 「極限をとる」という操作は線形である。すなわち、 ∀λ, μ ∈ ℝ に対して lim_{n→∞}(λa_{n} + μb_{n}) は収束して、

lim_{n→∞}(λa_{n} + μb_{n}) = λ( lim_{n→∞} a_{n}) + μ( lim_{n→∞} b_{n})

(2) 「実数の乗法は連続である。」

lim_{n→∞}(a_{n}b_{n}) = ( lim_{n→∞} a_{n})( lim_{n→∞} b_{n})

(3) 実数の除法は「連続」である。もっと詳しく言うと、 lim_{n→∞} b_{n} ≠ 0 なら、有限個の例外を除いて b_{n} ≠ 0 であって、

lim_{n→∞}(a_{n}/b_{n}) = ( lim_{n→∞} a_{n})/( lim_{n→∞} b_{n}).

定義 4.2. 実数列 {a_{n}} が単調増加であるとは、

∀n∀m(n ≥ m ⟹ a_{n} ≥ a_{m})

がなりたつときにいう。

次の定理は、既知の数から未知の数 (e など) を作り出すときに有効である。

定理 4.3. (テキスト “定理 1.5”) 上に有界な単調増加数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} はその上限に収束する。

もちろん、「上」を全て「下」に、「単調増加」を単調減少に置き換えた命題も成り立つ。

問題 4.1. f : ℝ → ℝ を

f(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{2}

で定義する。さらに、 ℝ の部分集合 S を

S = {x; x > 0 かつ x^{2} > 2}

で定義する。このとき、

(1) 任意の x ∈ S に対して、 f(x) ∈ S がなりたつことを示しなさい。

(2) 任意の x ∈ S に対して、

f(x) < x

が成り立つことを示しなさい。

(3) 実数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} を

a_{1} = 2, a_{n+1} = f(a_{n}) (n = 1, 2, 3, …)

で定義すると、この数列はある実数 α に収束することを示しなさい。

(4) 実数 α は α = f(α) を満たすことを示しなさい。

上の数列は大変早く収束する。余力のある人は、電卓や数式処理ソフトなどで、 a_{n} の最初の数項を計算してみると良い。

A α alpha アルファギリシャ文字の表。 ; • 左から順に、大文字、小 ; 文字、英語での読み、日本 ; 語での読み方を書いた。 (た ; だし、「日本語での読み方」 ; はだいたいの目安に過ぎ ; ない。 ) ; • A, B, E など、通常のア ; ルファベットと同じに見え ; る文字は、ふつうは数学で ; は用いられない。 ; • 逆に、同じ読みでも二つ ; 以上の文字がある場合、数 ; 学では二つを区別し、それ ; ぞれ別の意味で用いること ; がある。
B β beta  ベータ
Γ γ gamma ガンマ
Δ δ delta  デルタ
E ϵ, ε epsilon イプシロン
Z ζ zeta  ゼータ
H η eta  エータ
Θ θ, ϑ theta  シータ
I ι iota  イオタ
K κ kappa カッパ
Λ λ lambda ラムダ
M μ mu  ミュー
N ν nu  ニュー
Ξ ξ xi  グザイ
O o omicron オミクロン
Π π, ϖ pi  パイ
P ρ, ϱ rho  ロー
Σ σ, ς sigma シグマ
T τ tau  タウ
Υ υ upsilon ウプシロン
Φ ϕ, φ phi  ファイ
X χ chi  カイ
Ψ ψ psi  プサイ
Ω ω omega オメガ