微分積分学概論AI要約 No.4

定理 4.1 (テキスト``定理1.4'')   実数列 $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ はそれぞれ収束するとする。このとき、

1. 「極限をとる」という操作は線形である。すなわち、 $\forall \lambda,\mu\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して $\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n)$ は収束して、
   $$\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n) = \lambda (\lim_{n\to \infty} a_n) +\mu (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

2. 「実数の乗法は連続である。」
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

3. 実数の除法は「連続」である。 もっと詳しく言うと、 $\lim_{n\to \infty} b_n\neq 0$ なら、 有限個の例外を除いて $b_n\neq 0$ であって、
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n /b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) /(\lim_{n\to \infty} b_n).$$

定義 4.2   実数列 $\{a_n\}$ が単調増加であるとは、

$$\forall n \forall m (n \geq m \implies a_n \geq a_m)$$

がなりたつときにいう。

次の定理は、既知の数から未知の数 ($e$ など) を作り出すときに有効である。

定理 4.3 (テキスト``定理1.5'')       上に有界な単調増加数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ はその上限に収束する。

もちろん、「上」を全て「下」に、「単調増加」を 単調減少に置き換えた命題も成り立つ。

問題 4.1   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を

$$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{x}{2}$$

で定義する。 さらに、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $S$ を

$$S=\{x; x>0$$    かつ $$x^2>2\}$$

で定義する。 このとき、

1. 任意の $x\in S$ に対して、$f(x)\in S$ がなりたつことを示しなさい。
2. 任意の $x\in S$ に対して、
   $$f(x)<x$$
   が成り立つことを示しなさい。
3. 実数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ を
   $$a_1=2 , \quad a_{n+1}=f(a_{n}) \qquad (n=1,2,3,\dots)$$
   で定義すると、この数列はある実数 $\alpha$ に収束することを 示しなさい。
4. 実数 $\alpha$ は $\alpha=f(\alpha)$ を満たすことを示しなさい。

上の数列は大変早く収束する。 余力のある人は、電卓や数式処理ソフトなどで、$a_n$ の 最初の数項を計算してみると良い。