微分積分学概論AI要約 No.5

まず二項定理について復習しておこう。

定義 5.1   実数 $n$ と 0 以上の整数 $k$ とにたいして、

$$\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}$$

のことを、二項係数とよぶ。

高校では $n$ が正の整数のときに良く登場して、そのときには $\binom{n}{k}$ は 《場合の数》 ${}_n C_k$ と等しいのであった。

定理 5.2 (二項定理)   正の整数 $n$ について、次のことが成り立つ。

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k y^{n-k}$$

命題 5.3   $\{\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\}_{n=1}^\infty$ は収束する。その極限を (級数の記号を先走って使って)

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$

と書く。

定理 5.4 (``例1.8'')  

$$a_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \quad (=\left( \frac{n+1}{n} \right)^n )$$

とおく。このとき

1. $\{a_n \}_{n=1}^\infty$ は単調増加である。
2. 任意の $n$ にたいして、 $a_n \leq \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}.$
3. $\{a_n\}$ はある正の値に収束する。

Proof.

$$a_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k = \sum_{k=0}^n\frac{n (n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{n^k k!}$$

$$= \sum_{k=0}^n \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right) \dots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \frac{1}{ k!}$$

ここで最後の和に現れる項を $b_{n,k}$ と書くと、 $k$ を固定するごとに、 $b_{n,k}$ は単調増加で、 $\frac{1}{k!}$ よりは小さい。

$\qedsymbol$

定義 5.5   収束値

$$\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

のことを $e$ と書き、ネイピアの数とか、自然対数の底と呼ぶ。

命題 5.6   上の定理のように $b_{n,k}$ を決めたとき、

1. 任意の $N<n$ にたいして、 $\sum_{k=0}^N b_{n,k} \leq e$ .
2. 実は $e$ は命題 5.3 の数と一致する。

命題 5.3 の和は大変早く収束する。

$$1/0! = 1$$

$$1/1! = 1$$

$$1/2! = 0 .5\phantom{00000000}$$

$$1/3! = 0 .166666666$$

$$1/4! = 0 .041666666$$

$$1/5! = 0 .008333333$$

$$1/6! = 0 .001388888$$

$$1/7! = 0 .000198412$$

$$1/8! = 0 .000024801$$

$$1/9! = 0 .000002755$$

$$1/10! = 0 .000000275$$

$$( ) = 2 .718281801$$

$$( )\quad e = 2 .718281828$$

問題 5.1   長さが「ちょうど」 $5 e$ もしくは $10 e$ センチメートルの帯を鉛筆と定規等を 用いて作図しなさい。帯には

$$e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$

の部分和のところで線を入れること。 上の和のうちどの程度までを気にする必要があるだろうか? (楽しんでやること)

講義とレポート採点が終わったあとから気づいた注意: 上の書き方では誤解を招きますね。「等式

$$e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}=1+1+0.5+0.16666+\dots$$

において、右辺の和がそれぞれどの割合で寄与しているか その様子を帯グラフで書け。但しグラフの長さは(定規ではかれる範囲で 正確に) $5 e$ ないし $10 e$ センチメートルにせよ。」というほうがまだ ましな表現でした。スミマセン