微分積分学概論 AI 要約 NO.6

区間縮小法と部分列

定理 6.1. (“定理 1.6”[区間縮小法]) \underline{閉}区間の列 I_{n} について、 I_{1} ⊃ I_{2} ⊃ I_{3} ⊃ I_{4} ⊃ … がなりたつとする。このとき、

⋂_{n} I_{n} ≠ ∅.

さらに、 I_{n} の長さを length(I_{n}) と書くとき、

lim_{n→∞}(length(I_{n})) = 0

がなりたつならば、 ⋂_{n} I_{n} はただ一点のみからなる。

定義 6.2. 数列 {a_{n}} が与えられているとする。このとき、自然数の狭義増加列 n_{1} < n_{2} < n_{3} … を定めて、

{a_{n_{j}}; j = 1, 2, 3, … } = {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} = {a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, a_{n_{3}}, … }

で与えられるような数列を {a_{n}} の部分列という。 (教科書の 1.2.6 は少し

書き間違いがあるので注意。但し第 3 刷以降は直っている。 )

例えば

{a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}, a_{9}, a_{11}, a_{13} … } = {a_{2k−1}}_{k=1}^{∞}

や

{a_{2}, a_{3}, a_{5}, a_{7}, a_{11}, a_{13}, … }

({a_{n}} のうち素数番目のものをとりだしたもの),

{a_{2}, a_{4}, a_{8}, a_{16}, a_{32}, a_{64}, a_{128} … } = {a_{2^{k}}}_{k=1}^{∞}

などはすべて {a_{n}} の部分列である。

n_{k} が狭義増加列であることから、 n_{k} ≥ k が全ての k について成り立つ。このことから、直ちに次のことが従う。

補題 6.3. 数列 {a_{n}} が c に収束するならば、その任意の部分列 {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} も c に収束する。

定理 6.4. (“定理 1.9”)[ボルツァノ・ワイエルシュトラス] 有界な数列は、収束する部分列を持つ。

例えば、問題 2.1 の数列はそれ自体は収束しないが、収束する部分列をもつ。実際、 {a_{10n}}_{n=1}^{∞} は 1 に収束するし、 {a_{10n+1}}_{n=1}^{∞} は 0 に収束する。

問題 6.1. 補題 6.3 を ϵ-N 法を用いて証明せよ。

問題 6.2. 数列 \{a_{n}\}_{n=1}^{∞} を、 a_{1} = \sqrt{2}/2 かつ

a_{n+1} = \begin{cases}2a_{n} & ( if a_{n} < 1/2) \\ 2 − 2a_{n} & ( if a_{n} ≥ 1/2) \end{cases}

で定義する。このとき、 {a_{n}} は収束する部分列を持つことを (今日証明した定理のうちのどれかを用いて) 証明しなさい。