微分積分学概論AI要約 No.6

定理 6.1 (``定理1.6''[区間縮小法])   閉区間の列 $I_n$ について、 $I_1\supset I_2 \supset I_3 \supset I_4 \supset \dots$ がなりたつとする。このとき、

$$\bigcap_{n} I_n \neq \emptyset.$$

さらに、 $I_n$ の長さを $\operatorname{length}(I_n)$ と書くとき、

$$\lim_{n\to \infty}(\operatorname{length}(I_n))=0$$

がなりたつならば、 $\bigcap_{n} I_n$ はただ一点のみからなる。

定義 6.2   数列 $\{a_n\}$ が与えられているとする。このとき、 自然数の狭義増加列 $n_1<n_2<n_3\dots$ を定めて、

$$\{a_{n_j} ; j=1,2,3,\dots\}=\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty =\{a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots\}$$

で与えられるような数列を $\{a_n\}$ の部分列という。 (教科書の 1.2.6 は少し書き間違いがあるので注意。但し第3刷以降は直っている。)

例えば

$$\{a_1,a_3,a_5,a_7,a_9,a_{11}, a_{13}\dots\}=\{a_{2 k-1}\}_{k=1}^\infty$$

や

$$\{a_2,a_3,a_5,a_7,a_{11},a_{13},\dots\}$$

($\{a_n\}$ のうち素数番目のものをとりだしたもの),

$$\{a_2,a_4,a_8,a_{16},a_{32},a_{64}, a_{128}\dots\}=\{a_{2^k}\}_{k=1}^\infty$$

などはすべて $\{a_n\}$ の部分列である。

$n_k$ が狭義増加列であることから、 $n_k\geq k$ が全ての $k$ に ついて成り立つ。このことから、直ちに次のことが従う。

補題 6.3   数列 $\{a_n\}$ が $c$ に収束するならば、その任意の部分列 $\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ も $c$ に収束する。

定理 6.4 (``定理1.9'')   [ボルツァノ・ワイエルシュトラス] 有界な数列は、収束する部分列を持つ。

例えば、問題2.1 の数列はそれ自体は収束しないが、収束する部分列を もつ。実際、 $\{a_{10 n}\}_{n=1}^\infty$ は $1$ に収束するし、 $\{a_{10 n+1}\}_{n=1}^\infty$ は 0 に収束する。

問題 6.1   補題 6.3を $\epsilon$ -$N$ 法を用いて証明せよ。

問題 6.2   数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ を、 $a_1=\sqrt{2}/2$ かつ

$$% latex2html id marker 858a_{n+1}= \begin{cases} 2 a_n & (... ..._n<1/2) \\ 2-2 a_n & (\text{ if }a_n \geq 1/2) \\ \end{cases}$$

で定義する。このとき、$\{a_n\}$ は収束する部分列を持つことを (今日証明した定理のうちのどれかを用いて)証明しなさい。