微分積分学概論 AI 要約 NO.7

コーシー列

コーシー列は数を構成したり、未知の数を探り出すときに大変有効である。それは「収束先の値に言及せずに収束を判定する」ことができるからである。

数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} が実数値 c に収束するとは、

∀ϵ > 0∃N ∈ ℤ_{>0}(n > N ⟹ |a_{n} − c| < ϵ)

が成り立つときにいうのであった。カッコ内の ⟹ は、 ... をみたすなら\underline{いつでも} という意味であって、そこもキチンと表記すれば

∀ϵ > 0∃N ∈ ℤ_{>0}\underline{∀n ∈ ℤ_{>0}}(n > N ⟹ |a_{n} − c| < ϵ)

となる。いずれにせよ、この定義をそのまま用いる限り、収束先 c を知らねば収束性を判定できない。「有界な単調列は収束する」という定理や、前回の諸定理はそれを補うものである。コーシー列もまたそのような役割を担う。

定義 7.1. 数列 {a_{n}} がコーシー列であるとは、

∀ϵ > 0∃N ∈ ℤ_{>0}∀n, m ≥ N |a_{n} − a_{m}| < ϵ

がなりたつときに言う。

補題 7.2. 実数の収束列はコーシー列である。

定理 7.3 (“定理 1.8”). コーシー列は収束列である。

文章、とくに ∀, ∃ を含む文章について、その「否定」を言う必要が往々にして生じる。ジックリ考えれば分かる場合が多いが、それでは不十分で、反射神経的に分かるようになったほうがよい。慣れてしまえば簡単で、次の規則を機械的に適用すれば良い。

(1) 「∀x にたいして ... がなりたつ」の否定は「 ∃x にたいして、 ... がなりたたない」である。

(2) 「 ∃x にたいして、 ... がなりたつ」の否定は「 ∀x にたいして、 .... がなりたたない」である。

(3) 「A ならば B である」の否定は、「A なのに、 B でない」で

ある。もっと短く記号で書くと、

¬(∃xP (x)) = ∃x(¬P (x))
¬(∀xP (x)) = ∀x(¬P (x))
¬(A ⟹ B) = (A and ¬B)

問題 7.1. \{a_{j}\}_{j=1}^{∞} がコーシー列で、しかも\underline{0 に収束しない}とき、 (1) ある正の数 r とある正の整数 N_{1} が存在して、

n > N_{1} ⟹ |a_{n}| ≥ r

が成り立つことを示しなさい。

(ヒント:

∃r > 0∃N_{1} ∈ ℤ_{>0}∀n ∈ ℤ(n > N_{1} ⟹ |a_{n}| ≥ r)

の否定は

∀r > 0∀N_{1} ∈ ℤ_{>0}∃n ∈ ℤ(n > N_{1} and |a_{n}| < r)

である。 )

微分積分学概論 AI 要約 NO.7

(2) コーシー列 {b_{j}} で、 {a_{j}b_{j}} が 1 に収束するものがあることを証明しなさい。オマケ:数の構成の概略

昔は、数は「単にそこにある」ものであって、その性質を調べようと言う態度であったが、それでは「パンがなければ、ケーキを食べれば良いのに」という発言と同じレベルになってしまう。現代では、数は「作らないと食べられない (使えない)」ものである。コーシーの誕生の年がフランス革命の起きた年と同じ 1789 年なのは象徴的である。

(Step 1). まず自然数を構成せねばならない。そして自然数について加法、乗法が存在して、加法の可換法則、結合法則等が成り立つことを数学的帰納法で示す。ポアンカレ著「科学と方法」 (岩波文庫) をみればその概略を知ることができる。

自然数全体の集合を ℕ と書こう。 (Step 2). 「負の数」とその計算規則を導入して、整数を構成する。例えば、次のようなことをする。

(1) 形式的に、 a − b (a, b ∈ ℕ) の形で書ける数を整数と呼ぶ。

(2) a − b と c − d が同じ整数を表すのは、 a + d = b + c が成り立

つときで、その時に限る。そのあと、整数の和、差、積、および大小関係を定義し、それらが互いに「うまくいく」 (無矛盾である) ことを示す。手間ではあるが、そんなに難しいことではない。

(このようなことは近年 (と言っても半世紀ぐらい前) Grothendieck 構成法として一般化された。 )

整数の全体の集合を ℤ と書く。 (Step 3). 有理数を構成する。

(1) 形式的に、 a/b (a, b ∈ ℤ, b ≠ 0) の形で書ける数を有理数と呼ぶ。

(2) a/b と c/d が同じ整数を表すのは、 ad = bc が成り立つときで、

その時に限る。有理数に対してもまたもや和、差、積および大小関係を定義できて、それらは高校までに習ったような諸関係を満たすことがわかる。

この部分は「環の商環」だとか「局所化」として一般化される。その一部分は代数学で習うことになる。

(Step 4). 実数を構成する。 (1) 有理数のコーシー列 {a_{n}} の全体を ℜ とかこう。

(2) 二つの ℜ の元 {a_{n}} と {b_{n}} は、数列 {a_{n} − b_{n}} が 0 に収束するとき「同じクラスに属する」と呼ぶ。

(3) ℜ を上のようなクラスわけで分けたときの各クラスを実数と呼び、実数の全体を、 ℝ と書く。

数列 {a_{n}} がコーシー列かどうか、や 0 に収束するかどうか、は有理数の世界でも判定できることに注意しよう。

このステップは「任意の距離空間について、その完備化が存在する」という定理 (完備化定理) として一般化される。

以上のようにして構成した実数の全体 ℝ が、解析学の場として充分強固であること、すなわち「上に有界な実数の集合は必ず上限を持つ」や「任意の実数のコーシー列はある実数に収束する」などの事実を示すことができ、それが現代的な解析学の出発点ということになる。