微分積分学概論AI要約 No.7

コーシー列は数を構成したり、未知の数を探り出すときに 大変有効である。それは「収束先の値に言及せずに収束を判定する」 ことができるからである。

数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が実数値 $c$ に収束するとは、

$$\forall \epsilon>0 \exists N\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} (n>N\implies \vert a_n -c\vert<\epsilon)$$

が成り立つときにいうのであった。カッコ内の $\implies$ は、 ...をみたすならいつでもという意味であって、そこも キチンと表記すれば

$$\forall \epsilon>0 \exists N\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} \und... ...l n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}} (n>N\implies \vert a_n -c\vert<\epsilon)$$

となる。いずれにせよ、この定義をそのまま用いる限り、 収束先 $c$ を知らねば収束性を判定できない。 「有界な単調列は収束する」という定理や、前回の諸定理は それを補うものである。コーシー列もまたそのような役割を担う。

定義 7.1   数列 $\{a_n\}$ がコーシー列であるとは、

$$\forall \epsilon>0 \exists N \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} \forall n,m \geq N \quad \vert a_n-a_m\vert<\epsilon$$

がなりたつときに言う。

補題 7.2   実数の収束列はコーシー列である。

定理 7.3 (``定理1.8'')   コーシー列は収束列である。

文章、とくに $\forall, \exists$ を含む文章について、 その「否定」を言う必要が往々にして生じる。 ジックリ考えれば分かる場合が多いが、それでは不十分で、 反射神経的に分かるようになったほうがよい。慣れてしまえば 簡単で、次の規則を機械的に適用すれば良い。

1. 「$\forall x$ にたいして ... がなりたつ」 の否定は 「 $\exists x$ にたいして、 ... がなりたたない」 である。
2. 「 $\exists x$ にたいして、 ... がなりたつ」 の否定は 「 $\forall x$ にたいして、.... がなりたたない」 である。
3. 「A ならば B である」の否定は、「A なのに、Bでない」である。

もっと短く記号で書くと、

$$\neg(\exists x P(x)) =\exists x (\neg P (x))$$

$$\neg(\forall x P(x)) =\forall x (\neg P (x))$$

$$\neg(A \implies B) = (A \neg B)$$

問題 7.1   $\{a_j\}_{j=1}^\infty$ がコーシー列で、しかも0 に収束しないとき、

1. ある正の数 $r$ とある正の整数 $N_1$ が存在して、
   $$n>N_1 \implies \vert a_n\vert \geq r$$
   が成り立つことを示しなさい。

   (ヒント:

   $$\exists r>0 \exists N_1 \in {\mbox{${... ...{>0} \forall n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(n>N_1 \implies \vert a_n\vert\geq r)$$
   の否定は
   $$\forall r>0 \forall N_1 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} \exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}( n> N_1 \text{ and } \vert a_n\vert< r)$$
   である。)

2. コーシー列 $\{ b_j\}$ で、 $\{a_j b_j\}$ が $1$ に収束するものがあることを証明しなさい。

オマケ:数の構成の概略

昔は、数は「単にそこにある」ものであって、 その性質を調べようと言う態度であったが、 それでは「パンがなければ、ケーキを食べれば良いのに」 という発言と同じレベルになってしまう。 現代では、数は「作らないと食べられない(使えない)」ものである。 コーシーの誕生の年がフランス革命の起きた年と同じ1789年なのは 象徴的である。

(Step 1). まず自然数を構成せねばならない。そして自然数について 加法、乗法が存在して、加法の可換法則、結合法則等が成り立つことを 数学的帰納法で示す。ポアンカレ著「科学と方法」(岩波文庫)を みればその概略を知ることができる。

自然数全体の集合を $\mathbb{N}$ と書こう。

(Step 2). 「負の数」とその計算規則を導入して、整数を構成する。 例えば、次のようなことをする。

1. 形式的に、 $a-b$ ( $a,b\in \mathbb{N})$ の形で書ける数を整数と呼ぶ。
2. $a-b$ と $c-d$ が同じ整数を表すのは、$a+d=b+c$ が成り立つときで、 その時に限る。

そのあと、 整数の和、差、積、および大小関係を定義し、それらが互いに 「うまくいく」(無矛盾である)ことを示す。 手間ではあるが、そんなに難しいことではない。

(このようなことは近年(と言っても半世紀ぐらい前) Grothendieck 構成法として 一般化された。)

整数の全体の集合を ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と書く。

(Step 3). 有理数を構成する。

1. 形式的に、 $a/b$ ( $a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, b\neq 0)$ の形で書ける数を有理数と呼ぶ。
2. $a/b$ と $c/d$ が同じ整数を表すのは、$ad=bc$ が成り立つときで、 その時に限る。

有理数に対してもまたもや和、差、積および大小関係を定義できて、 それらは高校までに習ったような諸関係を満たすことがわかる。

この部分は「環の商環」だとか「局所化」として一般化される。 その一部分は代数学で習うことになる。

(Step 4). 実数を構成する。

1. 有理数のコーシー列 $\{a_n\}$ の全体を $\mathfrak{R}$ とかこう。
2. 二つの $\mathfrak{R}$ の元 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ は、 数列 $\{a_n-b_n\}$ が 0 に収束するとき「同じクラスに属する」と呼ぶ。
3. $\mathfrak{R}$ を上のようなクラスわけで分けたときの各クラスを実数 と呼び、実数の全体を、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ と書く。

数列 $\{a_n\}$ がコーシー列かどうか、や 0 に収束するかどうか、 は有理数の世界でも判定できることに注意しよう。

このステップは「任意の距離空間について、その完備化が存在する」 という定理(完備化定理)として一般化される。

以上のようにして構成した実数の全体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が、解析学の場として充分強固であること、 すなわち「上に有界な実数の集合は必ず上限を持つ」や 「任意の実数のコーシー列はある実数に収束する」 などの事実を示すことができ、それが現代的な解析学の 出発点ということになる。