微分積分学概論 AI 要約 NO.8

関数の極限値・左極限、右極限。

今回から、関数の話に話題の重点をうつす。

これから、「a の近くで定義されている (実数値) 関数 f 」という言い方をもちいることがある。これは、次の二つの状況を同時に満足していることを言い表す言葉である。

(1) f は ℝ のある部分集合 S 上定義されている関数 (f : S → ℝ) である。

(2) S は a を含むある開区間 I を部分集合として含む

定義 8.1 ( “1.3.2” ). f は実数 a の近くで定義された関数であるとする。このとき、 x が a に近づくときの f(x) の極限値は A である ( 「x → a のとき f は A に収束する」とも言う) とは、

∀ϵ > 0, ∃δ > 0; (0 < |x − a| < δ ⟹ |f(x) − A| < ϵ)

が満たされるときに言う。

(x → a の過程において、「x = a を許さない」というのが一つのポイントである。これは、

lim_{x→a} \frac{sin(x) − sin(a)}{x − a} = cos(a)

のような不定形の極限を相手にすることが多いからである。 )

補題 8.2. 上の定義の状況のもとで、関数 f(x) の x が a に近づくときの極限値は存在するとすれば唯一つである。

定義 8.3. f(x) の x → a の極限を (それがもし存在すれば、 )

lim_{x→a} f(x)

とかく。

定義 8.4 ( “1.3.3” ). f は実数 a の近くで定義された関数であるとする。このとき、 x が a に近づくときの f(x) の右極限値は A である ( 「x ↓ a のとき f は A に収束する」とも言う) とは、

∀ϵ > 0, ∃δ > 0; (0 < x − a < δ ⟹ |f(x) − A| < ϵ)

が満たされるときに言う。 f および a が与えられたとき、右極限値がもし存在すれば一意的である。これを

lim_{x↓a} f(x) あるいは lim_{x→a+0} f(x)

と書く。左極限値も同様に定義される。

問題 8.1.

lim_{x→2} x^{3}

はいくらか。 (結果が正しいことを極限の定義に基づいて証明せよ。 )

前回、「アクションプラン」と題して何か喋りましたが、それは、この間のアンケートの結果を踏まえたもので、その要点は:

(1) 講義の最初の 5 分間ぐらいを解説タイムに当てます。

(2) 講義の分からないところ、考え方で良く分からないところなどをレポートに \underline{具体的に}書いて「これについて解説タイムで解説して欲しい」という風に要望して頂ければできる限りお答えします。

(3) その他、下のような「ツボ」を要約に載せるようにします。 ◎いつになったら

a_{n} = \frac{1}{n} という数列を考えよう。意訳すれば、コビトサンが一日に一度数字を作ってくれていると考えれば良い。

1 日目 a_{1} = 1
2 日目 a_{2} = 0.5
3 日目 a_{3} = 0.33333 …
4 日目 a_{4} = 0.25
5 日目 a_{5} = 0.2
6 日目 a_{6} = 0.1666 …
7 日目 a_{7} = 0.14285714 …

いつになったら a_{n} の値は 0.01 より小さくなるだろうか。

答は 101 日目。いつになったら a_{n} の値は 0.001 より小さくなるだろうか。

答は 1001 日目。いつになったら a_{n} の値は 0.000234 より小さくなるだろうか。

(ちょっと考えて) 答は 4274 日目。

いちいち聞かれていては面倒だ。記号を用いて自動化しよう。いつになったら a_{n} の値は ϵ(> 0) より小さくなるだろうか。

答は ⌈1/ϵ⌉ (1/ϵ より大きい最小の整数) 日目。

同様に、いつになったら

\frac{12n^{2} + 25n + 2009}{n^{2} + 6n + 8}

と 12 との差は 0.1 以下になるだろう。 ◎「論理的な計算」を理解するために

(a) 表には数、裏にはアルファベットの書かれたカードが 4 枚ある。それらは A, K, 4, 7 であった。それらのカードのことごとくが「母音の裏側の数字は必ず偶数になっている」というルールを満足していることを確かめるためには、最低で何枚のカードをめくる必要があるか。 (それらはどのカードか。 )

(b)4 人のヒトがいる。 • ビールを飲んでいるヒト (年齢不詳。 )

• お茶を飲んでいるヒト (年齢不詳。 )

• 何かを飲んでいる 24 歳の青年。

• 何かを飲んでいる 16 歳の生徒。それらのヒトのことごとくが「20 歳未満はアルコールを飲んではイケナイ」というルールを満足していることを確かめるためには、最低で何人のヒトについて新たな情報を得る必要があるか。 (それらはどのヒトか。 )

詳細は「偶数」「母音」でネットを検索すると良い。どちらの問題が分かりやすいだろうか。 (爆問学問 File-071 より) ◎レポートの解答から ◯問題 6.2 では、 {a_{n}} が有界であることを証明するのがポイントである。「{a_{n}} が有界として」とか「{a_{n}} が有界と仮定する」で解答が始まるのはのっけからオカシイ。 ◯ {a_{n}} が c に収束するということを縮めて lim_{n→∞} a_{n} と書くのである。 {a_{n}} は「{a_{n}} が c に収束するので、 lim_{n→∞} a_{n} = c」などと書くのは、全く理解しないという印象を与える。 ◯収束列が単調とは限らない。例えば (−1)^{n} \frac{1}{n} は 0 に収束するし、 5 + (−1)^{n} \frac{1}{n} は 5 に収束する。 ◯「数列が有界である」とは {a_{n}} 全体がある区間 [N, N′] にすっぽりと入ることを意味している。一つ一つの元が有界であるからといって、全体が有界であるとは限らない。