微分積分学概論AI要約 No.10

定義 10.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $D$ 上で定義された $f$ が $D$ で連続であるとは、その定義域の全ての点 $a$ で連続であること、すなわち、

$$\forall a \in D \forall \epsilon >0 \exists \delta>0 ; \forall x\in D \left( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon \right)$$

が成り立つときに言う。

上の定義は、$D$ が開区間や閉区間に限らず、一般的に 適用できる形で述べられている。詳しくは多変数の場合に譲ろう。

定理 10.2 (``教科書定理1.11'')   同じ定義域を持つ連続関数 $f,g$ について、

1. $\lambda f + \mu g$ も連続関数である。
2. $f g$ も連続関数である。
3. $D$ の部分集合 $D_0=\{ x\in D; g(x)\neq 0\}$ において、 $f/g$ も連続関数である。

時間の都合で述べるのは省略するが、極限についても同様のことがらが 成り立つ。教科書定理1.10を参照のこと。

系 10.3  

1. $x$ の多項式で定義される関数(多項式関数)は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ で連続である。
2. $x$ の有理式で定義される関数
   $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$   ($p,q$ は $x$ の多項式)
   (有理関数)は、 $D_q=\{x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; q(x)\neq 0\}$ で連続である。

上の定理は、下の定理の多変数版を用いるともっと鮮やかに証明される

定理 10.4   二つの連続関数の合成関数は連続である。

定理 10.5 (``教科書定理1.13'')   関数 $f$ が $x=a$ で連続とし、 $f(a)>0$ とする。このとき、 $\exists \delta>0$ で、

$$(a-\delta,a+\delta)\implies f(a)>0$$

を満たすものが存在する。

次のことは、「連続 $\implies$ グラフがつながっている」ということの 表現法の一つと言える。

定理 10.6 (``教科書定理1.14'', 中間値の定理)   関数 $f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続(すなわち、$[a,b]$ の各点で連続)とする。 このとき $f(a)$ と $f(b)$ の中間の値 $\gamma$ にたいして、 $f(c)=\gamma$ をみたすような $c\in [a,b]$ が存在する。

上の定理は、位相空間論において「連結集合の連続像は連結である」という 定理に一般化される。 (区間は実数直線の連結部分集合として特徴づけることができる。)

問題 10.1  

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

とおくと、$f$ は $x=5$ において連続であることを定理9.2の(☆)にしたがって (つまり、今回の定理達を用いずに) 証明しなさい。

問題 10.2  

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

とおくと、$f$ は $D=\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x\neq 0\}$ において連続であることを 定義にしたがって 証明しなさい。

問題8.1 解答。

$$\lim_{x\to 2 } x^3 =8$$

である。これを示そう。

任意の $\epsilon>0$ にたいして、 $\delta=\min(1,\frac{\epsilon}{100})$ とおく。 すると、 $\vert x-2\vert<\delta$ を満たすような 任意の $x$ に対して、 $\vert x^3-8\vert <\epsilon$ となることを以下に示そう。 簡単のため、$t=$ $x-2$ で定まる新しい変数 $t$ をもちいて、 $x=2+t$ と変数変換することにする。 $\vert x-2\vert<\delta$ により、

1. $\vert t\vert<\delta$
2. $\vert t\vert<1$

が成り立つことに注意する。

$$\vert x^3-8\vert$$

$$= \vert(2+t)^3-8\vert \quad ( t=x+2)$$

$$= \vert 12 t + 6 t^2 + t^3\vert \quad( )$$

$$\leq 12 \vert t\vert + 6 \vert t^2\vert + \vert t^3\vert \quad( )$$

$$= 12 \vert t\vert + 6 \vert t\vert^2 + \vert t\vert^3$$

$$\leq 12 \vert t\vert + 6 \vert t\vert + \vert t\vert \vert t\vert\leq 1$$

$$= 19 \vert t\vert$$

$$< 19 \delta \vert t\vert<\delta$$

$$= \frac{19}{100} \epsilon$$

$$< \epsilon$$

がなりたつ。 $\qedsymbol$

解説: 今回は文字で表されるような数 ( $\epsilon,\delta, x,t$ など)の 扱い方に 注目しよう。

• 何の説明もなく使われる文字(変数や定数)はない。
• 一旦決めた文字(変数や定数)は値を変更することはできない。
  • たとえば、 「任意の $\epsilon>0$ に対して」 という文言のあとは、$\epsilon$ の値はずっと決まったままである。 (その文言のあと、「 $\epsilon=0.1$ とすると...」などとはできない。)
  • とくに、 「任意の $\epsilon>0$ に対して」が二つの場所で出てくる証明は 何かがおかしいと考えるべきである。
• 新たにモノ(文字、変数、定数)を登場させるときには、 それの決定法や、とりうる値の範囲などが、既に登場したモノのみで 書き表せていることが重要である。

以上を元に、上の証明の、4つの下波線部分を見てみる。

1. 正の数 $\epsilon$ が与えられている。数学で「任意」という場合には 『どんな値が来ても以下の議論は大丈夫である。』という意味である。 したがって、$\epsilon$ の値を証明するヒトの都合によって変更したりすることは できない。
2. $\delta$ の値を決めている。この値は証明のなかで既に決まっているデータ (今の場合は $\epsilon$ ) が決まった途端に確実に決まる。
3. $x$ が登場した。これは 決められた範囲 $\vert x-2\vert<\delta$ を動き回る。 それ以外には 『どんな値が来ても以下の議論は大丈夫である』ように以下の議論を組み立てる 必要がある。
4. $t$ は計算の便のための、いわば脇役である。 その値は $x$ の値から確実に決まる。

ARRAY(0x8e5ae10)