微分積分学概論 AI 要約 NO.11

逆関数定義 11.1 (“1.3.6”). 実数のある区間 I で定義された関数 f が狭義単調増加関数であるとは、

x_{1}, x_{2} ∈ I, x_{1} < x_{2} ⟹ f(x_{1}) < f(x_{2})

をみたすときにいう。定理 11.2 (“教科書定理 1.16”). f が閉区間 [a, b] 上の狭義単調増加な連続関数であれば、

f : [a, b] → [f(a), f(b)]

の逆関数

f^{−1} : [f(a), f(b)] → [a, b]

が存在する。さらに、この f^{−1} は連続で、かつ狭義単調増加である。例 11.3. 正の整数 n に対して、 0 以上の実数を定義域とする関数 f : ℝ_{≥0} ∋ x ↦ x^{n} ∈ ℝ_{≥0} は連続であり、狭義単調増加である。この関数は全射でもあるから、 f は逆写像を持つ。この関数を

x → \sqrt[n]{x}

と書く。つまり y = \sqrt[n]{x} は y^{n} = x を満たす唯一の正の実数である。命題 11.4. 任意の正の実数 x に対して、

\sqrt[n]{x^{k}} = (\sqrt[n]{x})^{k}

がなりたつ。

Proof. y = \sqrt[n]{x} とおくと、定義により、 y^{n} = x.

(y^{k})^{n} = y^{kn} = (y^{n})^{k} = x^{k}.

ゆえに、 y^{k} は n 乗して x^{k} になる実数である。そのような実数は唯一つ、すなわち \sqrt[n]{x^{k}} しかないのであるから、両者は等しい。 □

同様にして、次のことが分かる。

命題 11.5. 正の整数 a, b, c, d が a/b = c/d を満たせば、任意の実数 x にたいして、

\sqrt[b]{x^{a}} = \sqrt[d]{x^{c}}

がなりたつ。

この命題がなりたつので、\sqrt[b]{x^{a}} のことを x^{\frac{a}{b}} と書いても誤解の恐れがない。例 11.6. この例では、高校で習う三角関数の知識は既知であるとする。

(1) [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] ∋ x ↦ sin(x) ∈ [−1, 1] は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを arcsin(x) と書く。

(2) [0, π] ∋ x ↦ cos(x) ∈ [−1, 1] は狭義単調減少連続関数である。その逆関数のことを arccos(x) と書く。

(3) (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) ∋ x ↦ tan(x) ∈ ℝ は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを arctan(x) と書く。

arcsin, arccos, arctan はそれぞれ sin^{−1}, cos^{−1}, tan^{−1} などと書くこともある。

問題 11.1. 正の整数 n にたいし、 a_{n} = \sqrt[n]{2} とおく。このとき、数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} は 1 に収束することを ϵ − N 法を用いて証明しなさい。問題 11.2. 次のことを示しなさい。

∀ϵ > 0∃δ > 0; ∀q ∈ ℚ(|q| < δ ⟹ |2^{q} − 1| < ϵ)

(レポート問題が二問以上ある時はどちらか一方を解けばよい。 )

\underline{問題 9.1 解答。}

(☆)  ∀ϵ > 0∃δ > 0; ∀x(|x − 0| < δ ⟹ |f(x) − f(0)| < ϵ)

の否定、すなわち

(★)  ∃ϵ > 0∀δ > 0∃x; (|x − 0| < δ and |f(x) − f(0)| ≥ ϵ)

を示せば良い。

ϵ = \frac{1}{2} と定める。どんな δ > 0 をとってきても、\frac{1}{δ} より大きな整数 N が存在する (アルキメデスの原理)。

この N にたいし、

x = \frac{1}{\frac{π}{2} + 2Nπ}

とおけば、

|x| = \frac{1}{\frac{π}{2} + 2Nπ} < \frac{1}{N} < δ

なのに、

f(x) = sin(\frac{π}{2} + 2Nπ) = sin(\frac{π}{2} ) = 1

で、とくに

|f(x) − f(0)| = 1 ≥ ϵ

である。

上の状況をゲームで表現することができる。 (★) において、 ∃ 記号のついている変数を「味方側」の変数、 ∀ 記号のついているほうを「敵側」の変数と見ることにしよう。味方側の変数はこちらで決めれれば良い (決めるべきである) のにたいし、敵側の変数はこちらから決めることはできない。結論 |f(x) − f(0)| ≥ ϵ が最終的に成立

することを「味方の勝ち」と呼べば、上の証明は味方が必勝である (ような味方の戦略がある) ことを表している。

f(x) = \begin{cases}sin(1/x) & (if x ≠ 0) \\ 0 & (if x = 0) \end{cases}

敵側味方側
ϵ = \frac{1}{2}
δ > 0
x = \frac{1}{\frac{π}{2} +2Nπ}

結論 |f(x) − f(0)| ≥ ϵ.

[figure: {こちらは ϵ として\frac{1}{2} を選択した。対する敵側 δ は意外な一手。こ \atop れを見たわたしは x を慎重に選び、勝利に結びつけたのであった。}]

(★) の攻守を入れ換えた (敵側から眺めた) ものが (☆) である。例えば f(x) = x^{2} − 5x の x = 0 における連続性をしめすのは、以下のようなゲーム戦略を考えているのと同じである。

f(x) = x^{2} − 5x
敵側味方側
ϵ > 0
δ = min(1, ϵ/6)
x ∈ (−δ, δ)
結論 |f(x) − f(0)| < ϵ.

[figure: 敵側 ϵ は意外な一手。対するこちらはそれを見て冷静に δ を選択。 ; これが必殺の一撃であった。以下は敵側 x をいろいろと試みて反 ; 撃するも、後の祭りであった。]

上を見ても分かるように、 (☆),(★) はそれぞれ次のように言い換えても良い。

(☆′)  ∀ϵ > 0∃δ > 0; ∀x ∈ (−δ, δ) (|f(x) − f(0)| < ϵ)
(★′)  ∃ϵ > 0; ∀δ > 0∃x ∈ (−δ, δ); (|f(x) − f(0)| ≥ ϵ)