微分積分学概論AI要約 No.11

定義 11.1 (``1.3.6'')   実数のある区間 $I$ で定義された関数 $f$ が狭義単調増加関数であるとは、

$$x_1,x_2\in I , x_1< x_2 \implies f(x_1)< f(x_2)$$

をみたすときにいう。

定理 11.2 (``教科書定理1.16'')   $f$ が閉区間 $[a,b]$ 上の狭義単調増加な連続関数であれば、

$$f: [a,b] \to [f(a), f(b)]$$

の逆関数

$$f^{-1}: [f(a),f(b)]\to [a,b]$$

が存在する。 さらに、この $f^{-1}$ は連続で、かつ狭義単調増加である。

例 11.3   正の整数 $n$ に対して、 0 以上の実数を定義域とする関数 $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}\ni x\mapsto x^n \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ は連続であり、狭義単調増加である。この関数は全射でもあるから、 $f$ は逆写像を持つ。この関数を

$$x \to \sqrt[n]{x}$$

と書く。 つまり $y=\sqrt[n]{x}$ は $y^n=x$ を満たす唯一の正の実数である。

命題 11.4   任意の正の実数 $x$ に対して、

$$\sqrt[n]{x^{k}}= (\sqrt[n]{x})^k$$

がなりたつ。

Proof. $y=\sqrt[n]{x}$ とおくと、定義により、 $y^n=x$ .

$$(y^k)^n=y^{k n}=(y^n)^k=x^k.$$

ゆえに、$y^k$ は $n$ 乗して $x^k$ になる実数である。 そのような実数は唯一つ、すなわち $\sqrt[n]{x^k}$ しかないのであるから、 両者は等しい。 $\qedsymbol$

同様にして、次のことが分かる。

命題 11.5   正の整数 $a,b,c,d$ が $a/b=c/d$ を満たせば、任意の実数 $x$ にたいして、

$$\sqrt[b]{x^a} =\sqrt[d]{x^c}$$

がなりたつ。

この命題がなりたつので、 $\sqrt[b]{x^a}$ のことを $x^{\frac{a}{b}}$ と 書いても誤解の恐れがない。

例 11.6   この例では、高校で習う三角関数の知識は 既知であるとする。

1. $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \ni x\mapsto \sin(x) \in [-1,1]$ は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを $\arcsin(x)$ と書く。
2. $[0,\pi] \ni x\mapsto \cos(x) \in [-1,1]$ は狭義単調減少連続関数である。その逆関数のことを $\arccos(x)$ と書く。
3. $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \ni x\mapsto \tan(x) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを $\arctan(x)$ と書く。

$\arcsin,\arccos,\arctan$ はそれぞれ $\sin^{-1},\cos^{-1}, \tan^{-1}$ などと書くこともある。

問題 11.1   正の整数 $n$ にたいし、 $a_n=\sqrt[n]{2}$ とおく。 このとき、数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ は $1$ に収束することを $\epsilon-N$ 法を用いて証明しなさい。

問題 11.2   次のことを示しなさい。

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0; \forall q\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\vert q\vert<\delta \implies \vert 2^q-1\vert<\epsilon)$$

(レポート問題が二問以上ある時はどちらか一方を解けばよい。)

問題9.1 解答。

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 ; \forall x ( \vert x-0\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(0)\vert<\epsilon)$$ (☆)

の否定、すなわち

$$\exists \epsilon>0 \forall \delta>0 \exists x; (\vert x-0\vert<\delta \vert f(x)-f(0)\vert\geq \epsilon)$$ (★)

を示せば良い。

$\epsilon=\frac{1}{2}$ と定める。 どんな $\delta >0$ をとってきても、 $\frac{1}{\delta}$ より大きな整数 $N$ が存在する (アルキメデスの原理)。

この $N$ にたいし、

$$x=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+ 2 N \pi}$$

とおけば、

$$\vert x\vert = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+ 2 N \pi}<\frac{1}{ N} <\delta$$

なのに、

$$f(x)=\sin(\frac{\pi}{2} + 2 N\pi)=\sin(\frac{\pi}{2})=1$$

で、とくに

$$\vert f(x)-f(0)\vert=1 \geq \epsilon$$

である。

上の状況をゲームで表現することができる。 (★) において、$\exists$ 記号のついている変数を「味方側」の変数、 $\forall$ 記号のついているほうを「敵側」の変数と見ることにしよう。 味方側の変数はこちらで決めれれば良い(決めるべきである)のにたいし、 敵側の変数はこちらから決めることはできない。 結論 $\vert f(x)-f(0)\vert\geq \epsilon$ が最終的に成立することを「味方の勝ち」 と呼べば、 上の証明は味方が必勝である(ような味方の戦略がある)ことを表している。

$f(x)=\begin{cases} \sin(1/x) & (\text{if }x\neq 0)\\ 0 & (\text{if }x=0) \end{cases}$

敵側	味方側
	$\epsilon=\frac{1}{2}$
$\delta >0$
	$x=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 N \pi}$

結論 $\vert f(x) -f(0)\vert\geq \epsilon$ .

こちらは $\epsilon$ として $\frac{1}{2}$ を選択した。対する敵側 $\delta$ は意外な一手。これを見たわたしは $x$ を慎重に選び、 勝利に結びつけたのであった。

(★)の攻守を入れ換えた(敵側から眺めた)ものが(☆)である。 例えば $f(x)=x^2-5x$ の $x=0$ における連続性をしめすのは、以下のようなゲーム戦略を考えているのと同じである。

$f(x)=x^2-5x$

敵側	味方側
$\epsilon>0$
	$\delta=\min(1, \epsilon/6)$
$x\in (-\delta,\delta)$

結論 $\vert f(x) -f(0)\vert< \epsilon$ .

敵側 $\epsilon$ は意外な一手。対するこちらはそれを見て 冷静に $\delta$ を選択。これが必殺の一撃であった。 以下は敵側 $x$ をいろいろと試みて反撃するも、後の祭りであった。

上を見ても分かるように、(☆),(★)はそれぞれ次のように言い換えても良い。

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 ; \forall x\in (-\delta,\delta) \quad( \vert f(x)-f(0)\vert<\epsilon) '$$

$$\exists \epsilon>0 ; \forall \delta>0 \exists x \in (-\delta,\delta); \quad(\vert f(x)-f(0)\vert\geq \epsilon) '$$