微分積分学概論 AI 要約 NO.12

指数関数

定理 12.1. 正の数 a にたいして、

ℚ ∋ q ↦ a^{q} ∈ ℝ

は ℝ 上の連続関数に拡張されて a > 1 ならば単調増加、 a < 1 ならば単調減少、 a = 1 なら定数関数になる。 x ∈ ℝ におけるこの関数の値を a^{x} と書く。

Proof. x ∈ ℝ にたいして、 x に収束する有理数列 {q_{j}} をとり、 {a^{q_{j}}} を考えると、これはコーシー列であることがわかる。ゆえに、この列はある実数に収束する。じつはこの実数は x の近似列 {q_{j}} の取り方によらないことがわかるから、これを a^{x} と書いて差し支えない。 x → a^{x} が連続であることは前回のレポート問題の解答と同様の方法により分かる。

□

定義 5.5 の e を思い出しておこう。

e = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n}

定義 12.2. 指数関数 e^{x} の逆関数を log(x) で書き、 x の自然対数とよぶ。

逆関数の定理により、 log(x) は x の単調増加連続関数であることがわかる。数学では断らない限り対数の底としては e をとり、自然対数を考えるのが普通である。

補題 12.3. a^{x} = e^{x log(a)}.

定理 12.4 (“定理 1.19”). 次のことがなりたつ。 (1) lim_{x→±∞}(1 + \frac{1}{x})^{x} = e.

(2) lim_{x→0}(1 + x)^{1/x} = e.

(3) lim_{x→0} \frac{log(1+x)}{x} = 1. (log(x) の微分の基本になる式)

(4) lim_{x→0} \frac{e^{x}−1}{x} = 1. (e^{x} の微分の基本になる式)

上の定理は e^{x} の x → 0 の挙動を記述するものだが、 x → ∞ のときの挙動も大事である。

補題 12.5.

lim_{x→∞} \frac{x}{e^{x}} = 0

補題 12.6.

lim_{x→∞} \frac{x^{3}}{e^{x}} = 0

を証明せよ。 (この講義でいままでに得た知識、定理の中のどれを用いても構わない。 )

\underline{問題 10.2 解答。}

a ∈ D = {x ∈ ℝ; x ≠ 0} において f が連続であることを示そう。任意の ϵ > 0 にたいして、

δ = min(\frac{|a|}{2}, \frac{|a|^{2}ϵ}{4})

とおく。

|x − a| < δ なる任意の x に対して、 |f(x) − f(a)| < ϵ がなりたつことを示そう。そのために、 h = x − a とおく。一方で、 x = a + h であり、他方で |x − a| < δ から、

|h| < \frac{|a|}{2}, かつ (*)

|h| < \frac{|a|^{2}ϵ}{4} (**)

である。まずおとなしく |f(x) − f(a)| を計算してみよう。

|f(x) − f(a)| = |f(a + h) − f(a)| = |\frac{1}{a + h} − \frac{1}{a}| = |\frac{−h}{(a + h)a}| = \frac{|h|}{|a + h| · |a|} (A)

ここで、 (*) と三角不等式により、

|a + h| ≥ |a| − |h| > \frac{|a|}{2}

であって、なおかつ正の数の分数においては、分母が大きくなるほどその値は小さくなるから、

(B)  \frac{|h|}{|a + h| · |a|} ≤ \frac{|h|}{\frac{|a|}{2} · |a|} = \frac{|h|}{\frac{|a|^{2}}{2}}

がなりたつ。こんどは、 (**) により、

(C)  \frac{|h|}{\frac{|a|^{2}}{2}} ≤ \frac{ϵ}{2} < ϵ

である。 (A),(B),(C) をつなぎあわせると、めでたく (任意の ϵ > 0 に対して、 δ を上のよう

に定めれば |x − a| < δ なる任意の x に対して)

|f(x) − f(a)| < ϵ

がなりたつことがわかった。注意

上の解答で用いた三角不等式は、講義で述べたもの

(△)  |x + y| ≤ |x| + |y|

の応用である。 x = a + h, y = −h のときに (△) をもちいると

|a| ≤ |a + h| + | − h| = |a + h| + |h|

を得る。あとは適当に移項すれば良い。不等式の向きに注意。うろ覚えで間違えた不等式を書かないように、とくに始めの間は基本の三角不等式 (△) をしっかり覚えてあとはそれを上のように応用することを考えた方が良い。