微分積分学概論AI要約 No.12

定理 12.1   正の数 $a$ にたいして、

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\ni q\mapsto a^q \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$

は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の連続関数に拡張されて $a>1$ ならば単調増加、$a<1$ ならば単調減少、 $a=1$ なら定数関数になる。 $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ におけるこの関数の値を $a^x$ と書く。

Proof. $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいして、$x$ に収束する有理数列 $\{q_j\}$ をとり、 $\{a^{q_j}\}$ を考えると、これはコーシー列であることがわかる。 ゆえに、この列はある実数に収束する。じつはこの実数は $x$ の近似列 $\{q_j\}$ の取り方によらないことがわかるから、これを $a^x$ と書いて差し支えない。 $x\to a^x$ が連続であることは前回のレポート問題の解答と同様の方法により分かる。

$\qedsymbol$

定義 5.5 の $e$ を思い出しておこう。

$$e= \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

定義 12.2   指数関数 $e^x$ の逆関数を $\log(x)$ で書き、$x$ の自然対数とよぶ。

逆関数の定理により、$\log(x)$ は $x$ の単調増加連続関数であることが わかる。

数学では断らない限り対数の底としては $e$ をとり、 自然対数を考えるのが普通である。

補題 12.3   $a^x=e^{x \log(a)}$ .

定理 12.4 (``定理1.19'')   次のことがなりたつ。

1. $\lim_{x\to \pm \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$ .
2. $\lim_{x\to 0}(1+x) ^{1/x}=e$ .
3. $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1$ . ($\log(x)$ の微分の基本になる式)
4. $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ . ($e^x$ の微分の基本になる式)

上の定理は $e^x$ の $x\to 0$ の挙動を記述するものだが、 $x\to \infty$ のときの挙動も大事である。

補題 12.5  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}=0$$

補題 12.6  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x}=0$$

を証明せよ。(この講義でいままでに得た知識、定理の中のどれを用いても 構わない。)

問題10.2 解答。

$a\in D=\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x\neq 0\}$ において $f$ が連続であることを示そう。 任意の $\epsilon>0$ にたいして、

$$\delta=\min ({ \frac{\vert a\vert}{2},\frac{\vert a\vert^2\epsilon}{4}})$$

とおく。

$\vert x-a\vert<\delta$ なる任意の $x$ に対して、 $\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$ がなりたつことを示そう。 そのために、$h=x-a$ とおく。一方で、$x=a+h$ であり、 他方で $\vert x-a\vert<\delta$ から、

$$\vert h\vert<\frac{\vert a\vert}{2},$$ (*)

$$\vert h\vert<\frac{\vert a\vert^2\epsilon}{4}$$ (**)

である。 まずおとなしく $\vert f(x)-f(a)\vert$ を計算してみよう。

$$\vert f(x)-f(a)\vert =\vert f(a+h)-f(a)\vert =\vert\frac{1}{a+h}-... ...rt\frac{-h}{(a+h) a}\vert =\frac{\vert h\vert}{\vert a+h\vert\cdot\vert a\vert}$$ (A)

ここで、(*)と三角不等式により、

$$\vert a+h\vert \geq \vert a\vert-\vert h\vert > \frac{\vert a\vert}{2}$$

であって、 なおかつ正の数の分数においては、分母が大きくなるほどその値は 小さくなるから、

$$\frac{\vert h\vert}{\vert a+h\vert\c... ...rt a\vert}{2}\cdot\vert a\vert} = \frac{\vert h\vert}{\frac{\vert a\vert^2}{2}}$$ (B)

がなりたつ。 こんどは、(**)により、

$$\frac{\vert h\vert}{\frac{\vert a\vert^2}{2}}\leq \frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$ (C)

である。 (A),(B),(C)をつなぎあわせると、めでたく (任意の $\epsilon>0$ に対して、$\delta$ を上のように定めれば $\vert x-a\vert<\delta$ なる任意の $x$ に対して)

$$\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$$

がなりたつことがわかった。

注意

上の解答で用いた三角不等式は、講義で述べたもの

$$\vert x+y\vert\leq \vert x\vert+\vert y\vert$$ (△)

の応用である。 $x=a+h,y=-h$ のときに(△)をもちいると

$$\vert a\vert \leq \vert a+h\vert+\vert-h\vert =\vert a+h\vert+\vert h\vert$$

を得る。あとは適当に移項すれば良い。不等式の向きに注意。 うろ覚えで間違えた不等式を書かないように、とくに始めの間は 基本の三角不等式(△)をしっかり覚えてあとはそれを上のように 応用することを考えた方が良い。