微分積分学概論 AI 試験問題

問題 15.1.

f(x) = \frac{5e^{2x} + 3x^{2}}{7e^{2x} + 2e^{x}}

にたいして、極限

α = lim_{x→∞} f(x)

を. 考えたい。 (1) α の値を求めなさい。 (答のみでよい。 ) (2)

f(x) − α = \frac{Be^{−x} + Cx^{2}e^{−2x}}{49 + Ae^{−x}}

を満たす定数 A, B, C を求めなさい。

(3) 適当な正の数 K をとると、\frac{x^{2}}{e^{x}} は x > K の範囲で有界である

ことを示しなさい。 (分かりにくい場合には、「x > 10 ならば\frac{x^{2}}{e^{x}} < 100 であることを示しなさい。」という風に読みかえて解いても良い。 )

(4) 正の実数 ϵ に対して、

x > M ⟹ |f(x) − α| < ϵ

を満たす実数 M を一つ求めなさい。 (本小問では理由をきちんと書くことがが大事である。 )

結果については理学部二号棟 6F 数学掲示板で行なう。採点等の処理は 3 日から一週間程度かかる予定。掲示までは成績についての質問には一切応じられない。試験解答:

(1) α = \frac{5}{7}.

(2)

f(x) − α = \frac{−10e^{−x} + 21x^{2}e^{−2x}}{49 + 14e^{−x}}

すなわち、 A = 14, B = −10, C = 21 である。

(3) まず分母の見積もりをしよう。実数 x にたいして、その整数部分 ⌊x⌋ のことを n と書くと、 x > 4 のとき

n − 1 = ⌊x⌋ − 1 ≥ (x − 1) − 1 = x − 2 ≥ \frac{x}{2}

に注意すると、 x > 4 のとき、

e^{x} ≥ 2^{x} ≥ 2^{⌊x⌋} = 2^{n}
≥\binom{n}{2} = \frac{n(n − 1)}{2!} ≥ \frac{(x/2)^{2}}{2!} = \frac{x^{2}}{8}

がなりたつことが分かる。そこで、同じ範囲、すなわち x > 6 で

|\frac{x^{2}}{e^{x}} | = \frac{x^{2}}{e^{x}} ≤ \frac{x^{2}}{x^{2}/8} ≤ 8

であることがわかる。すなわち \{x ∈ ℝ; x > 4\} で\frac{x^{2}}{e^{x}} は有界である。 (4)

M = max(6, \frac{32}{ϵ})

とおくとよい。実際、任意の x > M にたいして、

|f(x) − α| =\frac{| − 10e^{−x} + 21x^{2}e^{−2x}|}{|49 + 14e^{−x}|}
≤\frac{|10e^{−x}| + |21x^{2}e^{−2x}|}{|49 + 14e^{−x}|} (三角不等式)
=\frac{10e^{−x} + 21x^{2}e^{−2x}}{49 + 14e^{−x}} ≤ \frac{10e^{−x} + 21x^{2}e^{−2x}}{49} = \frac{10 + 21x^{2}e^{−x}}{49} e^{−x}
≤\frac{10 + 21 · 8}{49}e^{−x} ((3) による)
<4e^{−x}
<\frac{4 · 8}{x^{2}}  (再び (3) による)
<\frac{32}{x} < ϵ