微分積分学概論AI試験問題

問題 15.1  

$$f(x)= \frac{5 e^{ 2 x}+3 x^2}{7 e^{2 x}+2 e^x}$$

にたいして、 極限

$$\alpha=\lim_{x\to \infty} f(x)$$

を.考えたい。

1. $\alpha$ の値を求めなさい。(答のみでよい。)

2. $$f(x)-\alpha = \frac{B e^{-x} + C x^2 e^{-2 x }}{49+A e^{-x} }$$
   を満たす定数 $A,B,C$ を求めなさい。
3. 適当な正の数 $K$ をとると、 $\dfrac{x^2}{e^x}$ は $x>K$ の範囲で有界であることを示しなさい。 (分かりにくい場合には、 「$x>10$ ならば $\dfrac{x^2}{e^x}<100$ であることを示しなさい。」 という風に読みかえて解いても良い。)
4. 正の実数 $\epsilon$ に対して、
   $$x>M\implies \vert f(x)-\alpha\vert<\epsilon$$
   を満たす実数 $M$ を一つ求めなさい。 (本小問では理由をきちんと書くことがが大事である。)

結果については理学部二号棟6F 数学掲示板で行なう。採点等の処理は3日から一週間程度 かかる予定。掲示までは 成績についての質問には一切応じられない。

試験解答:

(1) $\alpha=\dfrac{5}{7}$ .

(2)

$$f(x)-\alpha= \frac{-10 e^{-x}+21 x^2 e^{-2 x}}{49 + 14 e^{-x}}$$

すなわち、 $A=14,B=-10,C=21$ である。

(3) まず分母の見積もりをしよう。 実数 $x$ にたいして、その整数部分 $\lfloor x \rfloor$ のことを $n$ と書くと、$x>4$ のとき

$$n-1 =\lfloor x \rfloor-1\geq (x-1)-1=x-2 \geq \frac{x}{2}$$

に注意すると、 $x>4$ のとき、

$$e^x \geq 2^x \geq {2^{\lfloor x\rfloor}} = {2^n}$$

$$\geq {\binom {n}{2}} = \frac{n(n-1)}{2!} \geq \frac{(x/2)^2}{2!} =\frac{x^2}{8}$$

がなりたつことが分かる。

そこで、同じ範囲、すなわち $x>6$ で

$$\vert\frac{x^2}{e^x}\vert =\frac{x^2}{e^x} \leq \frac{x^2}{x^2/8} \leq 8$$

であることがわかる。すなわち $\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x>4\}$ で $\dfrac{x^2}{e^{ x}}$ は 有界である。

(4)

$$M=\max(6,\dfrac{32}{\epsilon})$$

とおくとよい。実際、任意の $x>M$ にたいして、

$$\vert f(x)-\alpha\vert = \frac{\vert-10 e^{-x}+21 x^2 e^{-2 x}\vert}{\vert 49 + 14 e^{-x}\vert}$$

$$\leq \frac{\vert 10 e^{-x}\vert+\vert 21x^2 e^{-2 x}\vert}{\vert 49 + 14 e^{-x}\vert}$$

$$= \frac{10 e^{-x}+ 21x^2 e^{-2 x}}{49 +... ...q \frac{10 e^{-x}+ 21x^2 e^{-2 x}}{49 } = \frac{10 + 21x^2 e^{- x}}{49 } e^{-x}$$

$$\leq \frac{10 + 21\cdot 8}{49 } e^{-x}$$

$$< 4 e^{-x}$$

$$< \frac{4\cdot 8 }{x^2}$$

$$< \frac{32}{x}< \epsilon$$