解析学 IA NO.1 要約

今日のテーマ《多変数関数》

本講義では多変数の関数の扱い方、とくに極限と微分について講述する。教科書には二変数関数を中心に書かれているが、考え方は変数が増えても同じである。

定義 1.1. 一般に, 正の整数 n に対して、

ℝ^{n} = {(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}); a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ ℝ}

を、 (実) n 次元空間と呼ぶ。 (2 次元空間のことを平面、 3 次元空間のことを単に空間と呼ぶ。 ) ℝ^{n} の元を (親しみをこめて) 点とよぶ。

高次元の空間について、非日常的だと思う人もいるかも知れないが、そうではない。それらは変数の空間として大事な意味を持つ。変数を多くもつ関数などというのはいくらでも出会うだろう。

定義 1.2. n を一つ固定する。このとき、

(1) 二点 P = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}), Q = (b_{1}, b_{2}, …, b_{n}) ∈ ℝ^{n} にたいして、その距離を d(P, Q) = \sqrt{∑_{j=1}^{n}(a_{j} − b_{j})^{2}} で定義する。

(2) ℝ^{n} の点 P = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) を中心とする半径 r ∈ ℝ_{>0} の開球

とは、

B_{r}(P) = {x ∈ ℝ^{n}; d(x, a) < r}

のことをいう。 n = 1, n = 2 のときの開球のことをそれぞれ開区間, 開円板ともいう。

一般に、 ℝ^{n} 全体で関数が定義されていることは少なく、 ℝ^{n} の部分集合 X のみで定義される場合がほとんどである。ところが極限、微分を論じる時には、考えている集合 X の「ハジッコ」での話がややこしい場合がある。そこで、ハジッコがない集合には特別な名前をつけて、それを愛用するのである。

命題 1.1. d は距離の公理をみたす。すなわち、 (1) d(P, Q) ≥ 0 であり、 d(P, Q) = 0 ⇔ P = Q.

(2) d(P, Q) = d(Q, P).

(3) 任意の P, Q, R ∈ ℝ^{n} にたいして、

d(P, Q) + d(Q, R) ≥ d(P, R)

が成り立つ。 (三角不等式)

上の命題の証明には内積の概念を用いるのが便利である。

補題 1.1. u, v ∈ ℝ^{n} にたいして、それらの内積を ⟨u, v⟩ = ∑_{j} u_{j}v_{j} で定義する。このとき、

(1) ⟨u, v⟩ は u, v について双線型である。

(2) ⟨u, u⟩ は非負の実数である。その平方根を ||u|| と書く。

(3) |⟨u, v⟩| ≤ ||u|| · ||v|| , ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||.

(4) d(P, Q) = ||P − Q||.

定義 1.3. ℝ^{n} の部分集合 U が開集合であるとは U の任意の点 P ∈ U にたいして、ある正の実数 r が存在して、 B_{r}(x) ⊂ U であるときにいう。一行で書くと:

U : open ⇔ (∀x ∈ U∃r ∈ ℝ_{>0} (B_{r}(x) ⊂ U)).

またもや ∀ と ∃ がでてきた。この講義でも大事になるので使い方をマスターして頂きたい。とくに、 x と r の登場の順番を気にして欲しい。

解析学 IA NO.1

定義 1.4. ℝ^{n} の点列 {P_{j}; j = 1, 2, 3, … } が点 Q に収束するとは、

lim_{j→0} d(P, Q_{j}) = 0

のときにいう。 {P_{j}} が Q に収束するとき、

P_{j} → Q (j → ∞)

とか、 lim_{j→∞} P_{j} = Q と書く。

つまり点列の極限を数 (距離) の極限に帰着させているのである。数の極限は ϵ-N 法を用いて定義されることを思い出しておくこと。

補題 1.2. 点列の収束は、その各成分が収束することと同値である。

定義 1.5. ℝ^{n} の部分集合 K が閉集合であるとは、「K に属する点からなる点列 {P_{j}}_{j=1}^{∞} が ℝ^{n} の点 P に収束するなら、必ず P も K に属する」ときに言う。

定義 1.6. ℝ^{n} の部分集合 D が領域であるとは、 D 内の任意の二点 P, Q が D 内の折れ線で結べるときに言う。

定義 1.7. ℝ^{n} の部分集合 S が有界であるとは、ある P ∈ ℝ^{n} とある正の実数 R があって、 S が B_{R}(P) のなかにすっぽりと部分集合として含まれてしまうときに言う。

補題 1.3. ℝ^{n} の部分集合 S に対して、次の二条件は同値である。 (1) S は閉集合である。

(2) S の ℝ^{n} での補集合 ∁S は開集合である。

例 1.1. ℝ^{n} において、 (1) ℝ^{n} 自体は開集合であり、閉集合でもある。

(2) 開球は開集合であるが、閉集合ではない。

(3) P ∈ ℝ^{n} と r > 0 とにたいして、閉球

\overline{B_{r}}(P) = \{Q ∈ ℝ^{n}; d(P, Q) ≤ r\}

は閉集合であるが、開集合ではない。

例 1.2. (1) 半開区間 (0, 1] は ℝ の開集合でも、閉集合でもない。 (2) [0, 1] × (0, 1) は ℝ^{2} の開集合でも、閉集合でもない。

下の例のように、「開集合」「閉集合」は「どの集合のなかで考えるか」が大切である

例 1.3. ℝ^{2} の “x 軸” ({(x, 0); x ∈ ℝ}) を ℝ と同一視する。このとき (0, 1) は ℝ の開集合であるが、 ℝ^{2} の開集合ではない。

定義 1.8. 写像 (関数) f : X → Y が与えられているとき、 X のことを f の定義域 (もしくは始集合), Y のことを f の終集合 f(X) のことを f の値域とよぶのであった。 X × Y の部分集合

Γ_{f} = {(x, f(x))|x ∈ X}

のことを f のグラフとよぶ。

※レポート問題 (期限：次の講義の終了時まで。 )

問題 1.1. 平面 ℝ^{2} の部分集合 {(0, 0)} (一点からなる集合) は開集合ではないことを示しなさい。