解析学 IA No.1要約

《多変数関数》

本講義では多変数の関数の扱い方、とくに極限と微分について講述する。 教科書には二変数関数を中心に書かれているが、考え方は変数が増えても同じである。

定義 1.1   一般に, 正の整数 $n$ に対して、

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n=\{(a_1,a_2,\dots,a_n); a_1,a_2,\dots, a_n\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\}$$

を、(実) $n$ 次元空間と呼ぶ。(2次元空間のことを平面、 3次元空間のことを単に空間と呼ぶ。) $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の元を(親しみをこめて) 点とよぶ。

高次元の空間について、非日常的だと思う人もいるかも知れないが、 そうではない。それらは変数の空間として大事な意味を持つ。 変数を多くもつ関数などというのはいくらでも出会うだろう。

定義 1.2   $n$ を一つ固定する。このとき、

1. 二点 $P=(a_1,a_2,\dots, a_n), Q=(b_1,b_2,\dots,b_n)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ にたいして、 その距離を $d(P,Q)=\sqrt{\sum_{j=1}^n (a_j-b_j)^2 }$ で定義する。
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の点 $P=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ を中心とする半径 $r \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ の 開球 とは、
   $$B_r(P)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; d(x,a)<r\}$$
   のことをいう。$n=1$ , $n=2$ のときの開球のことをそれぞれ開区間, 開円板ともいう。

一般に、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ 全体で関数が定義されていることは少なく、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $X$ のみで定義される場合がほとんどである。 ところが極限、微分を論じる時には、考えている集合 $X$ の 「ハジッコ」での話がややこしい場合がある。 そこで、ハジッコがない集合には特別な名前をつけて、それを 愛用するのである。

命題 1.1   $d$ は距離の公理をみたす。すなわち、

1. $d(P,Q)\geq 0$ であり、 $d(P,Q)=0 {\Leftrightarrow} P=Q$ .
2. $d(P,Q)=d(Q,P)$ .
3. 任意の $P,Q,R\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ にたいして、
   $$d(P,Q)+d(Q,R)\geq d(P,R)$$
   が成り立つ。(三角不等式)

上の命題の証明には内積の概念を用いるのが便利である。

補題 1.1   $u,v\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ にたいして、 それらの内積を $\langle u,v \rangle=\sum_j u_j v_j$ で定義する。 このとき、

1. $\langle u,v \rangle$ は $u,v$ について双線型である。
2. $\langle u,u\rangle$ は非負の実数である。その平方根を $\vert\vert u\vert\vert$ と書く。
3. $\vert\langle u,v \rangle \vert \leq \vert\vert u\vert\vert\cdot \vert\vert v\vert\vert$ , $\vert\vert u+v\vert\vert \leq \vert\vert u\vert\vert+ \vert\vert v\vert\vert$ .
4. $d(P,Q)=\vert\vert P-Q\vert\vert$ .

定義 1.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $U$ が 開集合であるとは $U$ の任意の点 $P\in U$ にたいして、 ある正の実数 $r$ が存在して、 $B_r(x)\subset U$ であるときにいう。一行で書くと:

$$U:$$open$${\Leftrightarrow}\ ( \forall x \in U \exists r\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} (B_r(x)\subset U)).$$

またもや $\forall$ と $\exists$ がでてきた。この講義でも大事になるので 使い方をマスターして頂きたい。とくに、$x$ と $r$ の登場の順番を気にして 欲しい。

定義 1.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の点列 $\{P_j ; j=1,2,3,\dots\}$ が点 $Q$ に収束するとは、

$$\lim_{j\to 0}d(P,Q_j)=0$$

のときにいう。$\{P_j\}$ が $Q$ に収束するとき、

$$P_j\to Q \quad (j\to \infty)$$

とか、 $\lim_{j\to \infty} P_j=Q$ と書く。

つまり点列の極限を数(距離)の極限に帰着させているのである。 数の極限は $\epsilon$ -$N$ 法を用いて定義されることを思い出しておくこと。

補題 1.2   点列の収束は、その各成分が収束することと同値である。

定義 1.5   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $K$ が閉集合であるとは、「$K$ に属する点からなる 点列 $\{P_j\}_{j=1}^\infty$ が $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の点 $P$ に収束するなら、 必ず $P$ も $K$ に属する」ときに言う。

定義 1.6   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $D$ が 領域 であるとは、 $D$ 内の任意の二点 $P,Q$ が $D$ 内の折れ線で結べるときに言う。

定義 1.7   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $S$ が 有界 であるとは、 ある $P\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ と ある正の実数 $R$ があって、 $S$ が $B_R(P)$ のなかにすっぽりと 部分集合として含まれてしまうときに言う。

補題 1.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $S$ に対して、次の二条件は同値である。

1. $S$ は閉集合である。
2. $S$ の $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ での補集合 $\complement S$ は開集合である。

例 1.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ において、

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ 自体は開集合であり、閉集合でもある。
2. 開球は開集合であるが、閉集合ではない。
3. $P\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ と $r>0$ とにたいして、閉球
   $$\overline{B_r}(P)=\{Q\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; d(P,Q)\leq r\}$$
   は閉集合であるが、開集合ではない。

例 1.2  

1. 半開区間 $(0,1]$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の開集合でも、閉集合でもない。
2. $[0,1]\times (0,1)$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の開集合でも、閉集合でもない。

下の例のように、「開集合」「閉集合」は 「どの集合のなかで考えるか」が大切である

例 1.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の ``x軸" $(\{(x,0); x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\})$ を $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ と同一視する。このとき $(0,1)$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の開集合であるが、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の開集合ではない。

定義 1.8   写像(関数) $f:X\to Y$ が与えられているとき、 $X$ のことを $f$ の定義域(もしくは始集合), $Y$ のことを $f$ の終集合 $f(X)$ のことを $f$ の値域とよぶのであった。 $X\times Y$ の 部分集合

$$\Gamma_f=\{(x,f(x))\vert x\in X\}$$

のことを $f$ のグラフとよぶ。

※レポート問題

(期限：次の講義の終了時まで。)

問題 1.1   平面 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の部分集合 $\{(0,0)\}$ (一点からなる集合)は 開集合ではないことを示しなさい。