解析学 IA NO.2 要約

今日のテーマ《多変数関数の連続性と極限》

定義 2.1 (“4.1.3”). ℝ^{n} の部分集合 S 上で定義された関数 f の、点 P での極限が α であるとは、

∀ϵ ∈ ℝ_{>0}∃δ ∈ ℝ_{>0} (Q ∈ S ∩ (B_{δ}(P) \ P) ⟹ |f(Q) − α| < ϵ)

を満たすときに言う。

この定義は一変数の場合と形式的には同じであるが、一変数の場合と違って多変数の場合には「点への近づき方」がいろいろあるので注意が必要である。

補題 2.1. 上の定義で、 S の点列 {P_{j}}_{j=1}^{∞} で、 P に収束するものがあったと仮定する。このとき、

lim_{j→∞} f(P_{j}) = α.

とくに、極限 α は一意的である。

定義 2.2. 上の一意的な極限を

lim_{{Q→P \atop Q∈S}} f(Q)

と書き表す。

例 2.1. 極限が存在しない例。

(1)

f_{1}(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}

は原点 (0, 0) において、極限を持たない。実際、直線 y = mx に沿って (x, y) を 0 に近づけると f_{1}(x, y) は\frac{m}{1+m^{2}} に近づき、 m によってその値が異なる。

(2)

f_{2}(x, y) = \frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}}

は前の例の (x, y) に (x^{2}, y) を代入したに過ぎないので、原点 (0, 0) において、極限を持たないことがわかる。ただし、前の例のような「直線に沿って近づく」分析だけでは極限の有無を判定できないことに注意。

定義 2.3 (“4.1.4”). ℝ^{n} の部分集合 S 上で定義された関数 f が点 P で連続であるとは、

∀ϵ ∈ ℝ_{>0}∃δ ∈ ℝ_{>0} (Q ∈ S ∩ B_{δ}(P) ⟹ |f(Q) − f(P)| < ϵ)

を満たすときに言う。 (考えている定義域 S が明らかな場合には Q ∈ S の部分は省略することが多い。 )

※レポート問題 (期限：次の講義の終了時まで。 )

問題 2.1.

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{xy^{2}}{x^{2} + 2y^{2}}

は存在するだろうか。理由を挙げて答えなさい。 (ヒント: (x, y) と (0, 0) の距離を d とおくと、 x = dx_{1}, y = dy_{1} となる (x_{1}, y_{1}) が存在して、 x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 1. d, x_{1}, y_{1} を用いて上の極限を表現してみよ。 )