解析学 IA No.2要約

《多変数関数の連続性と極限》

定義 2.1 (``4.1.3'')   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $S$ 上で定義された関数 $f$ の、点 $P$ での極限が $\alpha$ であるとは、

$$\forall \epsilon \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} \exists \delta \in$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} \left( Q\in S\cap (B_\delta(P)\setminus P) \implies \vert f(Q)-\alpha\vert<\epsilon \right )$$

を満たすときに言う。

この定義は一変数の場合と形式的には同じであるが、一変数の場合と違って 多変数の場合には「点への近づき方」がいろいろあるので注意が必要である。

補題 2.1   上の定義で、 $S$ の点列 $\{P_j\}_{j=1}^\infty$ で、 $P$ に収束するものがあったと仮定する。 このとき、

$$\lim_{j\to \infty} f(P_j)=\alpha.$$

とくに、 極限 $\alpha$ は一意的である。

定義 2.2   上の一意的な極限を

$$\lim_{{Q\to P}\atop{Q\in S}} f(Q)$$

と書き表す。

例 2.1   極限が存在しない例。

1. $$f_1(x,y)=\frac{x y}{x^2+y^2}$$
   は原点 $(0,0)$ において、極限を持たない。実際、直線 $y=m x$ に沿って $(x,y)$ を 0 に近づけると $f_1(x,y)$ は $\frac{m}{1+m^2}$ に近づき、 $m$ によってその値が異なる。

2. $$f_2(x,y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$$
   は 前の例の $(x,y)$ に $(x^2,y)$ を 代入したに過ぎないので、 原点 $(0,0)$ において、極限を持たないことがわかる。 ただし、前の例のような「直線に沿って近づく」分析だけでは 極限の有無を判定できないことに注意。

定義 2.3 (``4.1.4'')   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $S$ 上で定義された関数 $f$ が点 $P$ で連続であるとは、

$$\forall \epsilon \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} \exists \delta \in$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} \left ( Q\in S\cap B_\delta(P) \implies \vert f(Q)-f(P)\vert<\epsilon \right )$$

を満たすときに言う。(考えている定義域 $S$ が明らかな場合には $Q\in S$ の部分は 省略することが多い。)

※レポート問題

(期限：次の講義の終了時まで。)

問題 2.1  

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2+2 y^2}$$

は存在するだろうか。理由を挙げて答えなさい。 (ヒント: $(x,y)$ と $(0,0)$ の距離を $d$ とおくと、 $x=d x_1, y=d y_1$ となる $(x_1,y_1)$ が存在して、 $x_1^2+y_1^2=1$ . $d,x_1,y_1$ を用いて上の極限を表現してみよ。)