解析学 IA NO.3 要約

今日のテーマ《多変数関数の連続性と極限 (2)》「写像」と「関数」は同

じ意味の言葉ではあるが、ニュアンスとしては「関数」といえば値集合として数集合のみを許すことが多い。今日はそんな「関数」に限らずもっと一般の「写像」の連続性も一緒に議論しよう。詳しくは位相空間論で勉強するはずである。

定義 3.1. ℝ^{n} の部分集合 S から ℝ^{m} の部分集合 T への写像 f が点 P ∈ S で連続であるとは、

∀ϵ ∈ ℝ_{>0}∃δ ∈ ℝ_{>0} (Q ∈ S ∩ B_{δ}(P) ⟹ d(f(Q), f(P)) < ϵ)

を満たすときに言う。 f が S のどの点でも連続であるとき、 f は連続であるという。

d(f(Q), f(P)) < ϵ の部分は「f(Q) ∈ B_{ϵ}(f(P))」と言い代えてももちろんよい。「連続性」という解析学的なことがらが「球の位置関係」という幾何学的なことがらに翻訳されていることに注意。

実際の関数の連続性は、基本的な関数の連続性を組み合わせてだすことがおおい。基本的な関数自身の連続性はとなると、これは結局上の定義に戻って証明することになる。

補題 3.1. 次の各写像は連続である。 (1) f_{+} : ℝ^{2} ∋ (x, y) ↦ x + y ∈ ℝ

(2) f_{−} : ℝ^{2} ∋ (x, y) ↦ x − y ∈ ℝ

(3) f_{×} : ℝ^{2} ∋ (x, y) ↦ xy ∈ ℝ

(4) inv : ℝ \ {0} ∋ x ↦ x^{−1} ∈ ℝ

補題 3.2. 集合 S ⊂ ℝ^{l}, T ⊂ ℝ^{m}, U ⊂ ℝ^{n} と写像 f : S → T, g : T → U が与えられているとする。 f が P ∈ S で連続で、かつ g が f(P) ∈ T で連続ならば、合成写像 g ∘ f も P で連続である。とくに、連続写像の合成写像は連続である。

連続写像を組み合わせて新しい写像を作るためには、幾つかの「退屈な写像」 (包含写像、射影など) について連続性を言わなければならない。ここでそれをやると二度手間になってしまううえに、位相空間の知識なしには中途半端にしかできないので、それらはおとなしく位相空間論に任せよう。

◎ランダウの o.

定義 3.2. ℝ^{n} の部分集合 X 上の関数 a, b にたいして、

∀ϵ > 0∃r > 0 (Q ∈ B_{r}(P) ∩ X ⟹ |a(Q)| ≤ ϵ|b(Q)|)

が成り立つとき、

a(Q) = o(b(Q))

と書いて、 a は b に比べて無視できる (ほど小さい) という。

上の定義の式は、ほぼ、

lim_{Q→P} |\frac{a(Q)}{b(Q)}| → 0

と同値である。ただ、 b = 0 の点で困るから、上の形にしてあるのである。

上の記法を用いると、 f が P で連続であることは、

f(Q) = f(P) + o(1)

と同値である。

※レポート問題 (期限：次の講義の終了時まで。 )

問題 3.1. 写像 f : ℝ^{2} ∋ (x, y) → (x^{2}, x^{3} + y^{3}) ∈ ℝ^{2} が連続であることを示しなさい。