解析学 IA NO.5 要約

今日のテーマ《合成関数の微分・連鎖律》

(全) 微分を「一次近似」としてとらえると、合成関数の微分は大変やさしい。

定理 5.1. ℝ^{l} の開集合 U から ℝ^{m} への写像 f と、 f(U) を部分集合として含む開集合 V から ℝ^{n} への写像 g が与えられていたとする。このとき、もし f が点 a ∈ U で全微分可能で、なおかつ g が点 b = f(a) で全微分可能ならば、合成関数 g ∘ f も a で全微分可能であって、

D(g ∘ f)_{a} = (Dg)_{f(a)} · (Df)_{a}

(“·” は行列の積) が成り立つ。

証明. (Df)_{a} = L, (Dg)_{b} = M と書くと、

f(a + v) = f(a) + Lv + o(||v||) (= b + Lv + o(||v||))
g(b + w) = g(b) + Mw + o(||w||).

このことから、

g(f(a + v)) = g(b + Lv + o(||v||))
=g(b) + M · (Lv + o(||v||)) + o(||Lv + o(||v||)||)
=g(f(a)) + M · Lv + o(||v||))

がわかる。 □

全微分の行列成分は偏微分係数であったことを思い出すと、次の系が得られる。

系 5.2 (“定理 4.6, 定理 4.7”). 上の定理の状況の下で、 ℝ^{l}, ℝ^{m}, ℝ^{n} の座標系をそれぞれ (x_{1}, x_{2}, …, x_{l}), (y_{1}, y_{2}, …, y_{m}), (z_{1}, z_{2}, …, z_{n}) として、 f, g を成分で表示すると、

\frac{∂(g ∘ f)_{i}}{∂x_{k}} |_{x=a} = ∑_{j} \frac{∂g_{i}}{∂y_{j}} |_{y=f(b)} \frac{∂f_{j}}{∂x_{k}} |_{x=a}

例 5.1.

f : ℝ^{2} ∋ (u, v) ↦ (u, u + v^{3}) ∈ ℝ^{2}
g : ℝ^{2} ∋ (x, y) ↦ x^{3}y ∈ ℝ

を考えると、

(Df)_{(a,b)} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 3v^{2} \end{matrix})|_{(u,v)=(a,b)} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 3b^{2} \end{matrix})

(Dg)_{(x_{0},y_{0})} = (3x^{2}y x^{3})|_{(x,y)=(x_{0},y_{0})} = (3x_{0}^{2}y_{0} x_{0}^{3})

とくに、

(Dg)_{f(a,b)} == (3a^{2}(a + b^{3}) a^{3})

とくに、

他方で、

(g ∘ f)(u, v) = u^{3}(u + v^{3})

であるから、

(D(g ∘ f))_{(a,b)} = (4a^{3} + 3a^{3}b^{3} 3a^{3}b^{2})

であって、簡単な行列算により、この場合に定理が実際に正しいことを確かめられる。

変数の数 l, m, n を変えて、上の系をいろいろ書き換えてみると良い。 “連鎖律” の感じが掴めるだろう。連鎖律は、変数変換を考える際に特に重要になる。

解析学 IA NO.5

定義 5.1. ℝ^{l} の開集合 U から ℝ^{m} への写像 f の偏微分係数

\frac{∂f}{∂x_{j}} |_{x=a}

を a の関数とみたものを、 f の x_{j} での偏導関数とよぶ。

上の定義では、 f としてはベクトル値を許して記述した。下の定義でも f をベクトルのままで扱っても良いのであるが、あえて成分で書いておくことにする。

定義 5.2. ℝ^{l} の開集合 U から ℝ^{m} への写像 f が U において C^{1}-級であるとは, f の全ての成分の全ての偏導関数

\{\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} |_{x=a} ; \begin{matrix}i = 1, 2, …, m \\ j = 1, 2, …, l \end{matrix}\}

が存在して、しかも a ∈ U について連続であるときにいう。

上の定義は、確かめやすいが、偏微分を用いているので「偏った」感じである。

定理 5.3. ℝ^{l} の開集合 U から ℝ^{m} への写像 f について、次は同値である。

(1) f は上の定義の意味で C^{1} 級である。

(2) f は U の各点で微分可能で、かつ全微分 Df|_{x=a} は a について (U 上の M_{m,l}(ℝ)-値関数として) 連続である。

証明には次の補題を (連続して) 用いると良い。補題 5.1. 定理の仮定の下で、 x ∈ U かつ B_{r}(x) ⊂ U とする。 f が U で C^{1} 級ならば、

f(x + h_{1}e_{1}) = f(x) + h_{1} ∫_{0}^{1} \frac{∂f(x + t_{1}h_{1}e_{1})}{∂x_{1}}dt_{1} (h_{1} ∈ ℝ, |h_{1}| < r)

がなりたつ。ここに、 e_{1} = (1, 0, 0, …, 0) は基本ベクトルである。 (同様の表示が他の軸方向についても成り立つ。 )

オット、次の定理も必要になる。証明は位相空間論の講義を参照のこと

定理 5.4. ℝ^{n} のコンパクト集合 K 上の ℝ^{m}-値連続関数 f は一様連続である。すなわち、

∀ϵ > 0∃δ > 0∀x, ∀y ∈ K(d(x, y) < δ ⟹ d(f(x), f(y)) < ϵ) ※レポート問題

(期限：次の講義の終了時まで。 ) 問題 5.1. f(x, y, z) = z sin(xy) の x, y, z に関する偏導関数をそれぞれ求めよ。