解析学 IA NO.6 要約

今日のテーマ《積分による表示、多変数関数のテイラー展開。》

今回の話では、つぎのようなことをたびたび用いる。

補題 6.1. [a, b] 上定義された (実数値もしくはベクトル値) 連続関数 f に対して

|| ∫_{a}^{b} f(t)dt|| ≤ ∫_{a}^{b} ||f(t)||dt

が成り立つ。

先週、定理 5.3 の証明が残っていた。次のような積分の計算が基本になる。まずは微積分の基本定理から容易に従う一変数の場合。

f(x) = f(a) + (x − a) ∫_{0}^{1} f′(a + (x − a)t)

次は、それを用いた二変数の場合。

f(x, y) = f(a, y) + (x − a) ∫_{0}^{1} f_{x}(a + (x − a)t, y)dt
=f(a, b) + (y − b) ∫_{0}^{1} f_{y}(a, b + (y − b)t)dt
+ (x − a) ∫_{0}^{1} f_{x}(a + (x − a)t, y)dt

ついでに、三変数だと以下のようになる。

f(x, y, z) =f(a, b, z) + (y − b) ∫_{0}^{1} f_{y}(a, b + (y − b)t, z)dt
+ (x − a) ∫_{0}^{1} f_{x}(a + (x − a)t, y, z)dt
=f(a, b, c) + (z − c) ∫_{0}^{1} f_{z}(a, b, c + (z − c)t)dt
+ (y − b) ∫_{0}^{1} f_{y}(a, b + (y − b)t, z)dt
+ (x − a) ∫_{0}^{1} f_{x}(a + (x − a)t, y, z)dt

以上は、偏微分は「軸方向の変化を記述する」ということからくる制限の下で、苦労して (a, b, c) から (x, y, z) に近づいた式である。一旦定理 5.3 が確定した後は、 C^{1} 級関数は自動的に全微分可能であるから、「まっすぐ」近づくほうがわかりやすい。

定理 6.1. ℝ^{l} の開集合 U から ℝ^{m} への C^{1} 級写像 f について、 U の点 a と x = a + h とを含む線分が U に含まれているとするとき、等式

f(a + h) = f(a) + ∫_{0}^{1} Df(a + th) · hdt

が成り立つ。

《高階微分》

定義 6.1. ℝ^{l} の開集合 U から ℝ^{m} への C^{1} 級写像 f について、

Df : U ∋ a ↦ Df(a) ∈ M_{m,l}(ℝ)

解析学 IA NO.6

は、 M_{m,l}(ℝ) を ℝ^{ml} と同一視することで、 (全) 微分可能性を議論することができる。 Df の x = a での微分を

D^{2}f|_{x=a}

と書いて, f の二階微分とよぶ。つまり、 D^{2}f|_{x=a} は、 ℝ^{l} から M_{m,l}(ℝ) への線型写像である。 D^{2}f|_{x=a} が各 a ∈ U について存在して、連続であるとき、 f は C^{2} 級であると呼ぶ。

命題 6.2. ℝ^{l} の開集合 U 上定義された C^{2} 級写像 f : U → ℝ^{m} について、

f(a + h) =f(a) + Df(a) · h + \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{t} D^{2}(f(a + tsh) · h) · h dsdt
=f(a) + Df(a) · h + \frac{1}{2}(D^{2}f(a) · h) · h + o(||h||^{2})

が成り立つ。

微分と同様に高階微分も偏微分を用いて記述できる。

命題 6.3. ℝ^{l} の開集合 U から ℝ^{m} への写像 f が与えられているとする。このとき、

(1) f が C^{2} 級であることは、各変数に関する一回偏導関数 f_{x_{1}}, f_{x_{2}}, …, f_{x_{l}} が存在して、そのそれぞれが C^{1} 級であることと同値である。

(2) f が C^{2} 級である時、

f_{x_{i}x_{j}} = f_{x_{j}x_{i}}

がなりたつ。

(2) の証明では二変数の場合が本質的である。

f(x + h, y + k) − f(x, y + k) − f(x + h, y) + f(x, y)

を二つの道筋で積分表示することになる。

※レポート問題 (期限：次の講義の終了時まで。 )

問題 6.1. 定理 6.1 に基づいて、 f(x, y) = sin(xy^{2}) について、

f(a + h, b + k)

の h, k についての 1 次近似を求めなさい。すなわち、

f(a + h, b + k) = c_{00} + c_{10}h + c_{01}k + o(||(h, k)||)

なる実数 c_{00}, …, c_{01} を求めなさい。できることならば剰余項の積分表示も求めてみること。