解析学 IA NO.7 要約

今日のテーマ多変数関数のテイラー展開

定理 7.1. (定理 6.1 として既出) ℝ^{l} の開集合 U から ℝ^{m} への C^{1} 級写像 f について、 U の点 a と x = a + h とを含む線分が U に含まれているとするとき、等式

f(a + h) = f(a) + ∫_{0}^{1} Df(a + th) · hdt

が成り立つ。

これを h の成分を用いて書くと次のようになる。

f(a + h) = f(a) + ∑_{j=1}^{l} ∫_{0}^{1} f_{x_{j}}(a + th)h_{j}dt

定理の証明には

g(t) = f(a + th)

にたいして微分積分学の基本定理を行えば良い。

定理 7.2. (教科書 “例 3.9”) f が I = [0, 1] を含むような開区間上の C^{n+1} 級関数のとき、

f(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} + ∫_{0}^{x} \frac{(x − t)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(t)dt

定理 7.3. ℝ^{l} の開集合 U から ℝ^{m} への C^{n+1} 級写像 f について、 U の点 a と x = a + h とを含む線分が U に含まれているとするとき、等式

f(a + h) =f(a) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{j_{1},j_{2},...,j_{k}=1}^{l} \frac{f_{x_{j_{1}}...x_{j_{k}}} (a)}{k!}h_{j_{1}}h_{j_{2}}h_{j_{3}} … h_{j_{k}}

+ ∫_{0}^{1}(1 − t)^{n} ∑_{j_{1},j_{2},...,j_{n},j_{n+1}=1}^{l} \frac{f_{x_{j_{1}}...x_{j_{n+1}}}(a + th)}{n!}h_{j_{1}}h_{j_{2}}h_{j_{3}} … h_{j_{n+1}}dt

が成り立つ。

上の式は繁雑すぎて見にくいかも知れない。次のような作用素 𝔡_{h} を導入する。

𝔡_{h} = h_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + h_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} + h_{3} \frac{∂}{∂x_{3}} + ⋯ + h_{l} \frac{∂}{∂x_{l}}

すると、上の定理の式は次のようにも書くことができる。

f(a + h) =f(a) + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}(𝔡_{h}^{k}f)(a)+ ∫_{0}^{1}(1 − t)^{n} \frac{(𝔡_{h}^{n+1}f)(a + th)}{n!}dt

が成り立つ。

二変数の場合について、テイラー展開がどういう形に見えるかについては教科書の 4.3.2 も参照のこと。

※レポート問題 (期限：次の講義の終了時まで。 )

問題 7.1. 定理 7.3 に基づいて、 f(x, y) = sin(xy^{2}) について、 f(a + h, b + k) の h, k についての 2 次近似を求めなさい。できることならば剰余項の積分表示も求めてみること。