解析学 IA No.7要約

多変数関数のテイラー展開

定理 7.1 (定理6.1として既出)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ の開集合 $U$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ への $C^1$ 級写像 $f$ について、 $U$ の点 $a$ と $x=a+h$ とを含む線分が $U$ に含まれているとするとき、等式

$$f(a+h)=f(a)+\int_0^1 Df(a+t h) \cdot h dt$$

が成り立つ。

これを $h$ の成分を用いて書くと次のようになる。

$$f(a+h)=f(a)+\sum_{j=1}^l \int_0^1 f_{x_j}(a+t h) h_j dt$$

定理の証明には

$$g(t)=f(a+ th )$$

にたいして微分積分学の基本定理を行えば良い。

定理 7.2 (教科書``例3.9'')   $f$ が $I=[0,1]$ を含むような開区間上の $C^{n+1}$ 級関数のとき、

$$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f'(0)}{j!} x^k + \int_0^x \frac{ (x-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)} (t) dt$$

定理 7.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ の開集合 $U$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ への $C^{n+1}$ 級写像 $f$ について、 $U$ の点 $a$ と $x=a+h$ とを含む線分が $U$ に含まれているとするとき、等式

$$f(a+h)= f(a)+ \sum_{k=1}^n \sum_{j_1,j_2,\dots,j_k=1}^l \frac{f_{x_{j_1}\dots x_{j_k}}(a)}{k!} h_{j_1}h_{j_2} h_{j_3}\dots h_{j_k}$$

$$+ \int_0^1 (1-t)^n \sum_{j_1,j_2,\dots,j_n,j_{n+1}=1}^l \frac{f_{x_{j_1}\dots x_{j_{n+1}}}(a+t h)}{n!} h_{j_1}h_{j_2} h_{j_3}\dots h_{j_{n+1}} dt$$

が成り立つ。

上の式は繁雑すぎて見にくいかも知れない。 次のような作用素 $\mathfrak{d}_h$ を導入する。

$$\mathfrak{d}_h= h_1\frac{\partial}{\partial x_1} +h_2\frac{\part... ... +h_3\frac{\partial}{\partial x_3} +\dots +h_l\frac{\partial}{\partial x_l}$$

すると、上の定理の式は次のようにも書くことができる。

$$f(a+h)= f(a)+ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}(\mathfrak{d}_h^k f)(a) + \int_0^1 (1-t)^n \frac{ (\mathfrak{d}_h^{n+1}f)(a+t h)}{n!} dt$$

が成り立つ。

二変数の場合について、テイラー展開がどういう形に見えるかについては 教科書の4.3.2も参照のこと。

※レポート問題

(期限：次の講義の終了時まで。)

問題 7.1   定理 7.3 に基づいて、 $f(x,y)=\sin(x y^2)$ について、 $f(a+h,b+k)$ の $h,k$ についての2次近似を求めなさい。 できることならば剰余項の積分表示も求めてみること。