解析学 IA NO.9 要約

今日のテーマ逆写像定理。

定義 9.1. (1) ℝ^{m} のベクトル v = (v_{1}, v_{2}, …, v_{m}), w = (w_{1}, w_{2}, …, w_{m}) に対して二つの内積を

⟨v, w⟩ = ∑_{j=1}^{m} v_{j}w_{j}

で定義する。

(2) ℝ^{m} のベクトル v のノルムを

||v|| = \sqrt{⟨v, v⟩}

で定義する。

(3) (v, w のこの講義で用いられる距離(ユークリッド距離)は d(v, w) = ||v − w|| で定義するものと一致する。 )

(4) 行列 P ∈ M_{l,m}(ℝ) に対し、その作用素ノルムを

||P || = sup_{\begin{matrix}v∈ℝ^{l} \\ ||v||≤1 \end{matrix}} ||P · v||

で定義する。

一般に、ベクトルや行列に対するノルムの定義はいくつもあり、その時々に便利なものを用いるのが良い。ここでは横着して上のもののみを考えることにする。

補題 9.1. (1) 内積は双線型である。

(2) ベクトルに対してのノルム v ↦ ||v|| はノルムの公理を満たす。すなわち、

(a) ∀v ∈ ℝ^{m} ||v|| ≥ 0.

(b) ||v|| = 0 ⇔ v = 0.

(c) ∀v, w ∈ ℝ^{m} ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||.

(d) ∀c ∈ ℝ∀v ∈ ℝ^{m} ||cv|| = |c| · ||v||.

(3) 行列 P に対して、その作用素ノルムは常に有限であり、 P ↦ ||P || はノルムの公理を満たす。

(4) 任意の行列 P と (それと乗算可能なサイズを持つ) 任意のベクトルに対して ||P · v|| ≤ ||P || · ||v|| が成り立つ。

定理 9.1. U は ℝ^{m} の開集合であるとし、 f : U → ℝ^{m} は C^{1} 級であ

るとする。 (定義域と値域の次元が同じであることに注意。 ) x_{0} ∈ U において、

Df|_{x_{0}} が行列として可逆であると仮定し、その逆行列を L とおく。正の実数 r_{0} を次のような条件を満足するようにとる。

x ∈ B_{0} =^{def} B_{r_{0}}(x_{0}) ⟹ \begin{cases}x ∈ U & (つまり、 B_{r_{0}}(x_{0}) ⊂ U.) \\ ||I − Lf′(x)|| < \frac{1}{2} \\ ||f(x) − f(x_{0})|| < \frac{1}{2||L||} \end{cases}

(f が C^{1} 級だという仮定によりこのような r_{0} は存在する。 ) このとき、

(1) f は B_{0} 上単射である。

(2) r_{1} = \frac{r_{0}}{2||L||}, B_{1} = B_{r_{1}}(f(x_{0})) とおくと、 B_{1} 上定義された C^{1} 級関数 g が存在して、

f ∘ g|_{B_{1}} = id_{B_{1}}

がなりたつ。

上の定理の証明のキモは、以下の補題 (Newton 法) である。ただし、 Df_{x} の逆行列のところを、 L で置き換える部分が、本物の Newton 法とは異なる。

解析学 IA NO.9

補題 9.2. 定理の仮定の下で、次のような B_{1} × B_{0} 上の ℝ^{m} 値関数を考えよう。

φ(y, x) = x + L(y − f(x)) (x ∈ B_{0}, y ∈ B_{1})

すると、 φ の像は B_{0} に入る。

補題 9.3. 上の定理の仮定のもとで、上の補題の φ を考えて、次のような B_{1} 上の関数列 {g_{j}}_{j=1}^{∞} を定義する。

\begin{cases}g_{1}(y) = x_{0} & (定数関数) \\ g_{j+1}(y) = φ(y, g_{j}(y)) \end{cases}

すると {g_{j}} はある関数 g(x) に各点収束する。

定理 9.2.

f ∘ g = id

のとき、

Dg|_{y} = (Df|_{g(y)})^{−1}

とくに、 f が C^{n} 級なら、 g も C^{n} 級である。

逆写像定理では、定義域と値域の\underline{次元が等しく}、なおかつ点 x_{0} での f の微分 Df|_{x_{0}} が可逆であることが適用のポイントである。しかし、下のような考え方を用いて、定義域と値域の次元が違う場合にも、逆関数の定理を応用することができる。ここでは大まかな考え方のみ書いておこう。 (詳細は乞御研究)

命題 9.3. (陰関数の定理) f : ℝ^{n+s} → ℝ^{n} が C^{∞} 級で、なおかつ線型写像

f̂: (x, y) → (f(x, y), y) ∈ ℝ^{n+s} (x ∈ ℝ^{n}, y ∈ ℝ^{s})

が det(Df̂|_{(x_{0},y_{0})}) ≠ 0 を満足したとする。 c = f(x_{0}, y_{0}) とおこう。このとき f̂ の局所的な逆写像

ĝ : (x, y) → (g(x, y), y) (x ∈ ℝ^{n}, y ∈ ℝ^{s})

が存在する。すなわち、 f(g(x, y), y) = x が (c, y_{0}) に近いすべての x, y に対して成り立つ。とくに、 h(y) = g(c, y) は

f(h(y), y) = c

をすべての y について満足する。これは、方程式 f(x, y) = c を y について解いたことに相当する (陰関数)。

逆写像の定理や陰関数の定理は微分可能多様体の理論 (とくに埋め込みや沈め込みの議論、特異点の議論など) において基本的になる。

※レポート問題 (期限：次の講義の終了時まで。 )

問題 9.1.

f : (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}x^{3} − y^{2} \\ y \end{matrix})

なる (二変数ベクトル値) 関数の (a, b) における微分 Df|_{(a,b)} をもとめよ。 det(Df|_{(a,b)}) = 0 となるのはいつだろうか? (つまり、 (a, b) がどのような値のときか?)

問題 9.2. 前問の f を命題 9.3 の f̂ とみて (つまり f(x, y) = x^{3} − y^{2} とみて) 命題 9.3 にあるように逆写像定理を適用すると、どのような陰関数をえることができるだろうか?すなわち、どのような方程式を満足するような関数 h を得ることができるだろうか?