解析学 IA No.14要約

多変数関数の(リーマン)積分(5) 変数変換(つづき)。

変数変換

$$x=r \cos(\theta)$$

$$y=r \sin(\theta)$$

を図示すると、次のよう(左図から右図に変換)になる。

小さな区間長方形 $[r_0,r_0+d r)\times [ \theta_0,\theta_0+d \theta)$ 上では 上の変換はおおむね線形変換

$$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& r_0 \end{pmatrix}$$

で近似され、よってその面積は変換によってほぼ $r_0$ 倍になる。

$$D=\{(x,y); x>0,y>0, \sqrt{x^2+y^2}<R\}$$

上の積分

$$\int_{D} e^{-(x^2+y^2)} d x d y$$

は長方形

$$\tilde D=\{ (r,\theta); 0<r<R, 0<\theta<\pi/2\}$$

上の積分

$$\int_{\tilde D} e^{-r^2} r d r d \theta$$

となる。これは容易に(累次積分により)積分されて答は

$$\frac{\pi}{4}(1- e^{-R^2})$$

である。 このことは一変数の積分にも応用されて、

$$\int_{0}^\infty e^{-x^2}d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2},\quad \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}d x=\sqrt{\pi}$$

を得る。

変数変換の一次近似、Jacobian, 積分の変数変換が一堂に会する この辺が試験の問題になるであろう。やり方、考え方を 良く身につけておくこと。