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解析学 IA 試験問題

問題 15.1   $ f:$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$

$\displaystyle f(
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix})=
\begin{pmatrix}
e^{4 x + y}\\
x +y
\end{pmatrix}$

により定義する。このとき、

  1. 偏微分 $ f_x$ , $ f_y$ をそれぞれ求めなさい。
  2. $ P=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ における $ f$ の 全微分 $ Df\vert _P= Df(P) $ (どちらの書き方で書いても同じモノを意味する)、 および その行列式 $ \operatorname{det}(D f(P))$ を求めなさい。
  3. $ P=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ における $ f$ の二次近似を 求めなさい。

  4. $\displaystyle D=[0,1] \times [0,1]
$

    とし、$ D_1=f(D)$ とおく。このとき、 $ \int_{D_1} u^{-1} d u d v$

    $\displaystyle u(x,y)=e^{4 x+y}$    
    $\displaystyle v(x,y)=x+y$    

    と変数変換をすることにより求めなさい。($ f$ により $ D$ の点と $ D_1$ の点とが 全単射で対応することは証明なしに自由に使ってよいことにする。)

ちなみに $ D_1$ は次のような領域である。

\includegraphics[scale=0.5]{mondai.eps}
横軸にだけ対数目盛をとると、こうなってきれいだ (アタリマエダ):
\includegraphics[scale=0.5]{mondai1.eps}

結果については理学部二号棟6F 数学掲示板で行なう。採点等の処理は3日から一週間程度 かかる予定。掲示までは 成績についての質問には一切応じられない。

解答

(1)

% latex2html id marker 895
$\displaystyle f_x=
\begin{pmatrix}
4 e^{4 x +y} \\
1
\end{pmatrix},\quad
f_y=
\begin{pmatrix}
e^{4 x +y} \\
1
\end{pmatrix}.
$

(2)

$\displaystyle Df(P)=
\begin{pmatrix}
4 e^{4 a +b}& e^{4 a +b}\\
1 & 1
\end{pmatrix}$

したがって、その行列式は

$\displaystyle \operatorname{det}(Df(P))=
3 e^{4 a +b}
$

である。

(3)

  $\displaystyle f( \begin{pmatrix}a+h \\ b+k \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix}e^{4...
...d{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^{4 a + b} e^ {4 h + k}\\ a+ b+ h +k \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle = \begin{pmatrix}e^{4 a + b} (1+(4 h + k)+\frac{1}{2}(4 h +k)^2 )...
...vert\begin{pmatrix}h \\ k\end{pmatrix}\vert\vert^2))\\ a+ b+ h +k \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle = \begin{pmatrix}e^{4 a + b}\\ a+ b \end{pmatrix} + \begin{pmatri...
... \\ \end{pmatrix} +o(\vert\vert\begin{pmatrix}h \\ k\end{pmatrix}\vert\vert^2))$    

「二次近似を求めよ」という本問題の答としてはこれで充分である。 ただしもう少しだけキレイな書き方も以下に書いておこう。

  $\displaystyle f( \begin{pmatrix}a+h \\ b+k \end{pmatrix} )$    
  $\displaystyle = \begin{pmatrix}e^{4 a + b}\\ a+ b \end{pmatrix} + \begin{pmatri...
... \\ \end{pmatrix} +o(\vert\vert\begin{pmatrix}h \\ k\end{pmatrix}\vert\vert^2))$    
  $\displaystyle =f( \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix} ) +Df( \begin{pmatrix}a \...
... \\ \end{pmatrix} +o(\vert\vert\begin{pmatrix}h \\ k\end{pmatrix}\vert\vert^2))$    

第一項(定数項) は $ f$$ P$ での値であり、第二項(一次の項)は、 行列 $ Df(P)$ により表現される。残念ながら、二次の項については、 それほど簡便な書き方はない。(強いて言えば、「テンソル算」で 書き表せる。)また、二次の項については今回の場合については上の形で 充分簡単であるので、 展開しても、しなくてもどちらでもよい。

なお、上の解答を見れば想像がつくように、(1) は(2)の $ Df$ の列ベクトルを見れば よい(逆に言えば、(2)の前半は(1)の答えを単に並べれば良い)し、 (3)の一次の項を取り出せば、(1)および(2)の前半が自動的に得られる。

(4)

$\displaystyle \int_{D_1} u^{-1} du dv
=
\int_{D} e^{-(4 x +y)}\cdot (3 e^{4 x +y}) dx dy
=3 \int_{D} d x d y=3.
$

変数変換で気をつけなければならないのは、
  1. 領域の変換 ($ D_1$$ D$ に。)
  2. 積分関数の変換( $ u^{-1}$$ e^{4 x+y}$ に。)
  3. 測度の変換( $ du dv $ $ 3 e^{4 x +y}$ に。)
である。 $ D$$ D_1$$ f$ で一対一に対応することは、$ \log$ を用いて $ f$ の逆写像を構成することにより容易に示すことができる。 興味のある者はやってみるとよい。


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2009-07-31