代数学 II 要約 NO.2

第 2 回目の主題 : 環の上の加群の定義 (2)

環と、その上の加群について、前回は「フォーマルな」定義を述べた。実際には、次のことをわきまえていればそれほど間違えることはない。

(1) 環 A とは、その中で足し算、引き算、かけ算ができるような集合である。

(2) A-加群 M とは、その中で足し算、引き算、および A の元による作用 ( 「スカラー倍」 ) ができるような集合である。

例 2.1. 環 A が与えられたとき、正の整数 n にたいし、 A の元を n 個縦に並べた「ベクトル」の全体 A^{n} は A-加群とみなせる。具体的には、

(1) 和

(x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n}) ± (y_{1} ; y_{2} ; ⋮ ; y_{n}) = (x_{1} ± y_{1} ; x_{2} ± y_{2} ; ⋮ ; x_{n} ± y_{n})  ( \begin{matrix}複号同順, \\ ∀x_{1}, … ∀x_{n} ∈ A, \\ ∀y_{1}, … ∀y_{n} ∈ A. \end{matrix})

(2) 作用 (スカラー倍)

a. (x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n}) = (a · x_{1} ; a · x_{2} ; ⋮ ; a · x_{n}) ( \begin{matrix}∀a ∈ A, \\ ∀x_{1}, … ∀x_{n} ∈ A. \end{matrix})

上の例で n = 1 のときを考えれば、 A 自身も A-加群とみなせることがわかる。

定義 2.2. 上の A^{n} のことを A 上の (階数 n の) 自由加群と呼ぶ。

論理的には、前回に述べた定義に合うような「和、差、積」をもつ集合は (見掛けがどんなものであっても) 環である。数学者はいろいろな環を発明し、使っている。ただし、一旦ある集合 A が「環であること」がチェックされれば、 A の元の和、差、積については通常の「数」に準じた扱いが可能になる。加群についても同様である。例えば次のことが成り立つ。

補題 2.3. 環 A 上の加群 M に対して、つぎのことがなりたつ。

(1) M のゼロ元は唯一つである。これを 0_{M} (もしくは単に 0) と書く。

(2) A の任意の元 a にたいして、 a.0_{M} = 0_{M} がなりたつ。

(3) M の各元 x にたいして、 x の和に関する逆元 (マイナス元) は唯一つ存在する。これを −x と書くのであった。

(4) A の任意の元 a と、 M の任意の元 m にかんして、

(−a).(−m) = a.m

が成り立つ。

「A 加群 M」を思いうかかべるとき、はじめはベクトル空間をイメージしても良いだろう。ただし、つぎのことがベクトル空間とは決定的に異なる。

(1) 環 A の積は可換とは限らない。 (これは A が\underline{可換}環であるような状

況ならば回避できる。 )

(2) 環 A の元で割れるとは限らない。

というわけで、加群を学ぶときには、ベクトル空間の性質を思い出しつつ、加群の場合の違いを意識しながら学ぶと良いだろう。

次の定義はベクトル空間の間の線型写像の類似と考えて良い。

定義 2.4. M_{1}, M_{2} が A-加群のとき、写像 f : M_{1} → M_{2} が A-準同型 (A-加群としての準同型)) であるとは、つぎの条件が満足されるときに言う。 (Hom1) f(x + y) = f(x) + f(y) (Hom2) f(a.x) = a.f(x) 定義 2.5. A-加群 M にたいして、 N が M の A-部分加群であるとは、次の 2 条件が同時に満足されているときに言う。 (SM1) N は M の部分集合である。 (SM2) N はそれ自身 A-加群の構造をもつ。 (SM3) 包含写像 j : N ↪ M は A-加群の準同型である。命題 2.6. A-加群 M と M の部分集合 N にたいして、次の 2 条件は同値である。

(1) N は M の R-部分加群である。

(2) N は和、差、 R の元による作用について閉じている。例 2.7. 3ℤ は ℤ の ℤ-部分加群である。

もっと一般に、定義 2.8. 環 A にたいして、 A 自身を A-加群とみなしたものの部分加群 J を A の左イデアルと呼ぶ。別の言い方をすると、 A の左イデアル J とは、 A の部分集合であって、次の条件を満たすもののことである。 (LI1) 0_{A} ∈ J. (LI2) x, y ∈ J ⟹ x + y ∈ J, x − y ∈ J. (LI3) a ∈ A, x ∈ J ⟹ ax ∈ J.

A が可換環のときには、左イデアルとイデアルは同じものである。

定義 2.9. R-加群 M とその R-部分加群 N が与えられているとする。このとき M の N による商加群 M/N は自然に R-加群の構造をもつ。問題 2.1. ℤ-加群 ℤ の ℤ-部分加群 3ℤ による剰余加群 M = ℤ/3ℤ を考える。 M の各元 x は「11 で割る」ことができること、すなわち、

∀x ∈ M∃y ∈ M; 11.y = x

を示しなさい。