代数学 II 要約 NO.3

第 3 回目の主題 : 作用

R-加群 M において、 R の元の M への作用はベクトル空間で言えば「スカラー倍」に当たる訳だが、実際にはかなり感覚が異なる場合がある。

定義 3.1. (記号の確認) 環 R の単位元を 1_{R} と書くのであった。その二つの和 1_{R} + 1_{R} を 2_{R}, 2_{R} + 1_{R} を 3_{R} 等と書く。 1_{R} の R におけるマイナス元を (−1)_{R}, その二つの和 (−1)_{R} + (−1)_{R} を (−2)_{R} 等と書く。

例 3.2. ( 「スカラー倍的な作用」の例)

(1) ℤ-加群 M に対して、

2.m = m + m, 3.m = (m + m) + m, …

(−2).m = (−m) + (−m), 3.m = ((−m) + (−m)) + (−m), …

が成り立つ。

(2) もっと一般に環 R に対して、 2_{R}.m = m + m, 3_{R}.m = (m + m) + m 等々が成り立つ。

(3) 体 k 上のベクトル空間 V を k-加群とみるときには、「スカラー倍」を作用と考えるのであった。

次に、「スカラー倍」っぽくない作用の例を挙げよう。これらは後でこの講義の重要なテーマとして扱われることになる。

例 3.3. 体 k 上の一つの行列 A ∈ M_{n}(k) を固定する。このとき、一変数多項式環 k[X] の V = k^{n} への作用が

p(X).v = p(A)v (p ∈ k[X], v ∈ k^{n})

で定まる。

問題 3.1. k[X] の k^{n} への作用であって、 k の作用が V の元のスカラー倍に一致するようなものは、上に挙げたものに限ることを示しなさい。

定義 3.4. 環 A と群 G が与えられたとき、 A 上の G の群環 A[G] とは、形式的な有限和の集合

A[G] = {∑_{g∈G} a_{g}g ; a_{g} = 0 ∀′g ∈ G}

に形式的に和、積を導入したものである。 ( 「∀′•」は「有限個の例外を除い

て全ての • に対して」という意味である。 ) 具体的には、和、積は次のよう

に与えられる。 (1) ∑_{g} a_{g}g + ∑_{g} b_{g}g = ∑_{g}(a_{g} + b_{g})g.

(2) ∑_{g} a_{g}g · ∑_{g} b_{g}g = ∑_{g}(∑_{h} a_{h}b_{h^{−1}g})g

定義 3.5. 体 k が与えられているとする。群 G の k 上の n-次線形表現 Φ とは、群準同型 Φ : G → GL_{n}(k) のことである。命題 3.6. 群 G の k 上の n-次線形表現 Φ が与えられたとき、 A[G] の k^{n} への作用が

(∑_{g} a_{g}g).v = ∑_{g} a_{g}Φ(g)v (v ∈ k^{n})

で定まる。

問題 3.2. 5 次巡回群 C_{5} = ⟨a; a^{5} = e⟩ の上の ℂ 上の群環 ℂ[C_{5}] の次の計算をしせよ。 (答はできるだけ簡単にすること。 )

(e + a + a^{2} + a^{3} + a^{4})(e + a^{3})