代数学II要約 No.3

第3回目の主題 :

$R$ -加群 $M$ において、$R$ の元の $M$ への作用はベクトル空間で言えば 「スカラー倍」に当たる訳だが、実際にはかなり感覚が異なる場合がある。

定義 3.1 (記号の確認)   環 $R$ の単位元を $1_R$ と書くのであった。その二つの和 $1_R+1_R$ を $2_R$ , $2_R +1_R$ を $3_R$ 等と書く。 $1_R$ の $R$ におけるマイナス元を $(-1)_R$ , その二つの和 $(-1)_R +(-1)_R$ を $(-2)_R$ 等と書く。

例 3.2   ( 「スカラー倍的な作用」の例)

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -加群 $M$ に対して、

   $$2.m= m+m,\quad 3.m=(m+m)+m,\dots$$

   $$(-2).m= (-m)+(-m),\quad 3.m=((-m)+(-m))+(-m),\dots$$

   
   
   が成り立つ。
2. もっと一般に環 $R$ に対して、 $2_R. m=m+m,\quad 3_R.m =(m+m)+m$ 等々が 成り立つ。
3. 体 $k$ 上のベクトル空間 $V$ を $k$ -加群とみるときには、 「スカラー倍」を作用と考えるのであった。

例 3.3   体 $k$ 上の一つの行列 $A\in M_n(k)$ を固定する。このとき、一変数 多項式環 $k[X]$ の $V=k^n$ への作用が

$$p(X). v=p(A) v \qquad (p\in k[X], v \in k^n)$$

で定まる。

問題 3.1   $k[X]$ の $k^n$ への作用であって、$k$ の作用が $V$ の元のスカラー倍に 一致するようなものは、上に挙げたものに限ることを示しなさい。

定義 3.4   環 $A$ と群 $G$ が与えられたとき、$A$ 上の $G$ の 群環 $A[G]$ とは、 形式的な有限和の集合

$$A[G]= \left\{ \sum_{g \in G} a_g g \ ; \qquad a_g=0 \quad \forall' g \in G \right\}$$

に形式的に和、積を導入したものである。 (「 $\forall' \bullet$ 」 は「有限個の例外を除いて全ての $\bullet$ に対して」 という意味である。) 具体的には、和、積は次のように与えられる。

1. $\sum_g a_g g + \sum_g b_g g = \sum_g (a_g +b_g) g.$
2. $\sum_g a_g g \cdot \sum_g b_g g= \sum_g (\sum_h a_h b_{h^{-1}g} )g$

定義 3.5   体 $k$ が与えられているとする。群 $G$ の $k$ 上の $n$ -次線形表現 $\Phi$ とは、群準同型 $\Phi: G\to {\operatorname{GL}}_n(k)$ の ことである。

命題 3.6   群 $G$ の $k$ 上の $n$ -次線形表現 $\Phi$ が与えられたとき、 $A[G]$ の $k^n$ への作用が

$$(\sum_g a_g g). v = \sum_g a_g \Phi(g)v \qquad (v\in k^n)$$

で定まる。

問題 3.2   5次巡回群 $C_5=\langle a; a^5=e \rangle$ の上の ${\mathbb{C}}$ 上の群環 ${\mathbb{C}}[C_5]$ の次の計算をしせよ。(答はできるだけ簡単にすること。)

$$(e+a+a^2+a^3+a^4)(e+a^3)$$