代数学 II 要約 NO.5

第 5 回目の主題 : 加群の直和、自由加群定義 5.1. 環 A 上の加群 M_{1}, M_{2} が与えられているとする。直積集合 M_{1} × M_{2} に次のように和、スカラー倍を定義して A-加群の構造を入れることができる。

(\begin{matrix}m_{1} \\ m_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix}n_{1} \\ n_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}m_{1} + n_{1} \\ m_{1} + n_{2} \end{matrix}) (m_{1}, n_{1} ∈ M_{1}, m_{2}, n_{2} ∈ M_{2})

r. (\begin{matrix}m_{1} \\ m_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}r.m_{1} \\ r.m_{2} \end{matrix}) (m_{1} ∈ M_{1}, m_{2} ∈ M_{2}, r ∈ A)

この加群を M_{1}, M_{2} の直和とよび、 M_{1} ⊕ M_{2} と書く。

有限個の A-加群 M_{1}, M_{2}, …, M_{k} の直和 ⊕_{j=1}^{k}M_{j} も同様に定義される。同じ加群 M の k 個の直和 M ⊕ M ⊕ ⋯ ⊕ M のことを M^{⊕k} と書く。

補題 5.2. 有限個の A-加群 M_{1}, M_{2}, …, M_{k} が与えられた時、 (1) 各 i ∈ {1, 2, 3, …, k} について

π_{i}((m_{1} ; m_{2} ; ⋮ ; m_{k})) = m_{i}

で定義される π_{i} は直和 ⊕_{j=1}^{k}M_{j} から M_{j} への A-準同型である。これを標準的な射影とよぶ。

(2) 各 i ∈ {1, 2, 3, …, k} について

ι_{i}(m_{i}) = ( 0 ; 0 ; ⋮ ; 0 ; m_{i} ; 0 ; ⋮ ; 0) (i 番目の成分のみ m_{i} であとは 0.)

で定義される ι_{i} は M_{i} から直和 ⊕_{j=1}^{k}M_{j} への A-準同型である。これを標準的な入射とよぶ。

直和の間の写像は次のように行列的に分解できる。命題 5.3. 環 A 上の加群 M_{1}, M_{2}, …, M_{k} から N_{1}, …, N_{l} への A-準同型 ϕ が与えられたとする。このとき ϕ は

ϕ((m_{1} ; m_{2} ; ⋮ ; m_{k})) = (\begin{matrix}ϕ_{11}(m_{1}) + ϕ_{12}(m_{2}) + ⋯ + ϕ_{1k}(m_{k}) \\ ϕ_{21}(m_{1}) + ϕ_{22}(m_{2}) + ⋯ + ϕ_{2k}(m_{k}) \\ … \\ ϕ_{l1}(m_{1}) + ϕ_{l2}(m_{2}) + ⋯ + ϕ_{lk}(m_{k}) \end{matrix})

と分解される。ここに ϕ_{ij} = π_{i} ∘ ϕ ∘ ι_{j}. これはまた次のように\underline{略記}される。

ϕ((m_{1} ; m_{2} ; ⋮ ; m_{k})) = (\begin{matrix}ϕ_{11} & ϕ_{12} & … & ϕ_{1k} \\ ϕ_{21} & ϕ_{22} & … & ϕ_{2k} \\ … \\ ϕ_{l1} & ϕ_{l2} & … & ϕ_{lk} \end{matrix}) (m_{1} ; m_{2} ; ⋮ ; m_{k})

定義 5.4. 環 A にたいし、 A 自身を左 A-加群とみなすことができる。そのいくつかの直和として得られる加群 (と A-加群として同型な加群) を A 上の自由 A-加群と呼ぶ。

定理 5.5. A-加群 M の元 e_{1}, e_{2}, …, e_{k} が次の二条件を満たすとする。 (BASE1) M は A 上 {e_{1}, e_{2}, …, e_{k}} で生成される。すなわち、 M = Ae_{1} + Ae_{2} + ⋯ + Ae_{k}

が成り立つ。

(BASE2) {e_{1}, e_{2}, …, e_{k}} は A 上一次独立である。

このとき、

A^{⊕k} ∋ ^{t}(a_{1}, a_{2}, …, a_{k}) ↦ ∑_{j} a_{j}e_{j} ∈ M

は同型である^{1}。とくに、 M は自由加群である。 (このような状況の時、 M は e_{1}, e_{2}, …, e_{k} を基底とする自由加群であると言う。 )

命題 5.6. 環 A が与えられているとする。このとき、 (1) 任意の元 c ∈ A に対して、

ρ_{c} : A ∋ x ↦ xc ∈ A

は A (を左 A 群と見たもの) からそれ自身への A-準同型である。

(2) 逆に、 A (を左 A 群と見たもの) からそれ自身への任意の A-準同型 φ にたいし

て、ある c_{φ} ∈ A があって、

φ = ρ_{c_{φ}}

が成り立つ。

系 5.7. A^{⊕k} から A^{⊕l} への任意の A-準同型 φ は、

φ((a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{k})) = (\begin{matrix}ρ_{c_{11}} & ρ_{c_{12}} & … & ρ_{c_{1k}} \\ ρ_{c_{21}} & ρ_{c_{22}} & … & ρ_{c_{2k}} \\ … \\ ρ_{c_{l1}} & ρ_{c_{l2}} & … & ρ_{c_{lk}} \end{matrix} ) (a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{k})

と書ける。

定義 5.8. A-加群 M_{1} から A-加群 M_{2} への A-準同型の全体を

Hom_{A}(M_{1}, M_{2})

と書き表す。

命題 5.9. 環 A が与えられているとする。

(1) A-加群 M_{1}, M_{2} に対して、 Hom_{A}(M_{1}, M_{2}) は次のような「値ごとの和」によって加群の構造を持つ。

(φ_{1} + φ_{2})(x) = φ_{1}(x) + φ_{2}(x) (x ∈ M_{1})

(2) A-加群 M に対して、 End_{A}(M, M) = Hom_{A}(M, M) は上の和と、「写像の合成」による積により環の構造を持つ。

(下記の問題のように) M に A-加群以外の構造がある場合には、区別のため上の意味の End_{A}(M, M) のことを End_{A -module}(M) 等と書くことがある。

問題 5.1. ρ : A → End_{A -module}(A) は「環の反準同型」であること、すなわち、

ρ_{c_{1}+c_{2}} = ρ_{c_{1}} + ρ_{c_{2}}
ρ_{c_{1}c_{2}} = ρ_{c_{2}} ∘ ρ_{c_{1}}

を示しなさい。

1注: ^{t}• は転置行列を表す。 (講義ではこの^{t} はなかったが、正確を期すため WEB 版でのみ訂正した)。 )