代数学II要約 No.5

第5回目の主題 :

定義 5.1   環 $A$ 上の加群 $M_1,M_2$ が与えられているとする。 直積集合 $M_1\times M_2$ に次のように和、スカラー倍を定義して $A$ -加群の構造を入れることができる。

$$\begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end{pma... ...} m_1+n_1 \\ m_1+n_2 \end{pmatrix} \qquad (m_1,n_1 \in M_1, m_2,n_2 \in M_2)$$

$$r. \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end... ...pmatrix} r.m_1 \\ r.m_2 \end{pmatrix}\qquad (m_1 \in M_1, m_2\in M_2, r\in A)$$

この加群を $M_1,M_2$ の直和 とよび、 $M_1\oplus M_2$ と書く。

有限個の $A$ -加群 $M_1,M_2,\dots, M_k$ の直和 $\oplus_{j=1}^k M_j$ も 同様に定義される。 同じ加群 $M$ の $k$ 個の直和 $M\oplus M\oplus \dots \oplus M$ のことを $M^{\oplus k}$ と書く。

補題 5.2   有限個の $A$ -加群 $M_1,M_2,\dots, M_k$ が与えられた時、

1. 各 $i\in \{1,2,3,\dots, k\}$ について
   $$\pi_i( \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix})=m_i$$
   で定義される $\pi_i$ は 直和 $\oplus_{j=1}^k M_j$ から $M_j$ への $A$ -準同型である。これを標準的な射影とよぶ。
2. 各 $i\in \{1,2,3,\dots, k\}$ について
   $$\iota_i(m_i)= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \\ m_i \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$$   ($i$ 番目の成分のみ $m_i$ であとは $0$.)
   で定義される $\iota_i$ は $M_i$ から直和 $\oplus_{j=1}^k M_j$ への $A$ -準同型である。これを標準的な入射とよぶ。

直和の間の写像は次のように行列的に分解できる。

命題 5.3   環 $A$ 上の加群 $M_1,M_2,\dots, M_k$ から $N_1,\dots, N_l$ への $A$ -準同型 $\phi$ が与えられたとする。このとき $\phi$ は

$$\phi( \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix... ...ots \\ \phi_{l1}(m_1)+ \phi_{l2}(m_2)+\dots + \phi_{l k}(m_k)\\ \end{pmatrix}$$

と分解される。ここに $\phi_{ij}=\pi_i \circ\phi\circ \iota_j$ . これは また次のように略記される。

$$\phi( \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix... ...k}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix}$$

定義 5.4   環 $A$ にたいし、 $A$ 自身を左 $A$ -加群とみなすことができる。 そのいくつかの直和として得られる加群(と $A$ -加群として同型な加群)を $A$ 上の自由 $A$ -加群と呼ぶ。

定理 5.5   $A$ -加群 $M$ の元 $e_1,e_2,\dots, e_k$ が次の二条件を満たすとする。

BASE1.

$M$ は $A$ 上 $\{e_1,e_2,\dots, e_k\}$ で生成される。すなわち、 $M=A e_1 + A e_2 + \dots + A e_k$ が成り立つ。

BASE2.

$\{e_1,e_2,\dots, e_k\}$ は $A$ 上一次独立である。

このとき、

$$A^{\oplus k} \ni {}^t(a_1,a_2,\dots, a_k) \mapsto \sum_j a_j e_j \in M$$

は同型である¹。 とくに、$M$ は自由加群である。(このような状況の時、$M$ は $e_1,e_2,\dots, e_k$ を基底とする自由加群であると言う。)

命題 5.6   環 $A$ が与えられているとする。このとき、

1. 任意の元 $c\in A$ に対して、
   $$\rho_c:A \ni x \mapsto x c \in A$$
   は $A$ (を左 $A$ 群と見たもの) からそれ自身への $A$ -準同型である。
2. 逆に、$A$ (を左 $A$ 群と見たもの) からそれ自身への 任意の $A$ -準同型 $\varphi$ にたいして、ある $c_\varphi\in A$ があって、
   $$\varphi= \rho_{c_\varphi}$$
   が成り立つ。

系 5.7   $A^{\oplus k}$ から $A^{\oplus l}$ への任意の $A$ -準同型 $\varphi$ は、

$$\varphi( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmat... ...}}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}$$

と書ける。

定義 5.8   $A$ -加群 $M_1$ から $A$ -加群 $M_2$ への $A$ -準同型の全体を

$$\operatorname{Hom}_A(M_1,M_2)$$

と書き表す。

命題 5.9   環 $A$ が与えられているとする。

1. $A$ -加群 $M_1,M_2$ に対して、 $\operatorname{Hom}_A(M_1,M_2)$ は次のような「値ごとの和」によって加群の構造を持つ。
   $$(\varphi_1+\varphi_2) (x)=\varphi_1(x) +\varphi_2(x) \qquad (x\in M_1)$$

2. $A$ -加群 $M$ に対して、 $\operatorname{End}_A(M,M)=\operatorname{Hom}_A(M,M)$ は上の和と、 「写像の合成」による積により環の構造を持つ。

(下記の問題のように) $M$ に $A$ -加群以外の構造がある場合には、 区別のため上の意味の $\operatorname{End}_A(M,M)$ のことを $\operatorname{End}_{A\operatorname{-module}}(M)$ 等と書くことがある。

問題 5.1   $\rho: A \to \operatorname{End}_{A\operatorname{-module}}(A)$ は「環の反準同型」であること、すなわち、

$$\rho_{c_1 +c_2}=\rho_{c_1} + \rho_{c_2}$$

$$\rho_{c_1 c_2}=\rho_{c_2} \circ \rho_{c_1}$$

を示しなさい。