代数学 II 要約 NO.6

第 6 回目の主題 : 自由加群の間の準同型の例

自由加群から一般の加群への準同型は次のように「生成元の行き先」で定まる。

命題 6.1. 環 A 上の加群 M にたいして、 (1) M の元 m_{1}, m_{2}, …, m_{k} が与えられたとき、 A^{⊕k} から M への A-準同型 φ が

φ((a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{k})) = ∑_{j=1}^{k} a_{j}.m_{j}

により定まる。

(2) A^{⊕k} から M への A-準同型は、上のような形のものに限る。

系 6.2. 環 A 上の加群 M にたいして、 M が k 個の元 {m_{1}, m_{2}, …, m_{k}} で生成されるならば、

(1) 上記の命題のようにして全射 A-準同型 ψ : A^{⊕k} → M が定まる。

(2) さらに、 Ker(ψ) も有限個の元で生成されるならば、適当な A 準同型

f : A^{⊕k′} → A^{⊕k}

があって、 M は f の余核 A^{⊕k}/ Image(f) と同型になる。 (このような M のことを有限表示をもつ A 加群という。 )

うえのことは、 M が適当な有限性の条件を満足すれば (つまり、有限表示を持てば)、 M は前回の系 5.9 のような形の準同型の余核として得られることを示している。

A が可換なときには前回の系 5.9 は次のように書ける:

命題 6.3. A^{⊕k} から A^{⊕l} への任意の A-準同型 φ は、

φ((a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{k})) = (\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & … & c_{1k} \\ c_{21} & c_{22} & … & c_{2k} \\ … \\ c_{l1} & c_{l2} & … & c_{lk} \end{matrix}) (a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{k})

と書ける。

例 6.4. A-加群 M が一つの元で生成されている場合、 A の左イデアル J があって、 M ≅ A/J となる。さらに、 A が可換で、かつ PID であれば、 M は J はやはり一つの元で生成されて、 A →^{c×} A の余核 A/cA と同型になる。

問題 6.1. 問題 4.1 は typo があった (web 版では修正済) ので、それを修正したものを改めて解きなさい。