代数学II要約 No.6

第6回目の主題 :

自由加群から一般の加群への準同型は次のように「生成元の行き先」で定まる。

命題 6.1   環 $A$ 上の加群 $M$ にたいして、

1. $M$ の元 $m_1,m_2,\dots,m_k$ が与えられたとき、 $A^{\oplus k}$ から $M$ への $A$ -準同型 $\varphi$ が
   $$\varphi( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}) =\sum_{j=1}^k {a_j. m_j}$$
   により定まる。
2. $A^{\oplus k}$ から $M$ への $A$ -準同型は、上のような 形のものに限る。

系 6.2   環 $A$ 上の加群 $M$ にたいして、 $M$ が $k$ 個の元 $\{m_1,m_2,\dots,m_k\}$ で生成されるならば、

1. 上記の命題のようにして全射 $A$ -準同型 $\psi :A^{\oplus k} \to M$ が定まる。
2. さらに、 $\operatorname{Ker}(\psi)$ も有限個の元で生成されるならば、 適当な $A$ 準同型
   $$f: A^{\oplus {k'}} \to A^{\oplus {k}}$$
   があって、$M$ は $f$ の余核 $A^{\oplus k}/\operatorname{Image}(f)$ と同型になる。 (このような $M$ のことを有限表示をもつ $A$ 加群という。)

うえのことは、$M$ が適当な有限性の条件を満足すれば(つまり、有限表示を持てば)、 $M$ は 前回の系 5.9 のような形の準同型の余核として得られることを示している。

$A$ が可換なときには 前回の系 5.9 は次のように書ける:

命題 6.3   $A^{\oplus k}$ から $A^{\oplus l}$ への任意の $A$ -準同型 $\varphi$ は、

$$\varphi( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmat... ...}}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}$$

と書ける。

例 6.4   $A$ -加群 $M$ が 一つの元で生成されている場合、 $A$ の左イデアル $J$ があって、 $M\cong A/J$ となる。 さらに、$A$ が可換で、かつ PID であれば、$M$ は $J$ はやはり 一つの元で生成されて、 $A\overset{c\times }{\to} A$ の余核 $A/c A$ と同型になる。

問題 6.1   問題 4.1 は typo があった(web 版では修正済)ので、それを修正したものを 改めて解きなさい。