代数学II要約 No.7

第7回目の主題 :

定義 7.1   環 $A$ 上の加群 $M$ の元 $m_1,m_2,\dots, m_k$ に対して、 $A$ -準同型

$$\varphi: A^{\oplus k} \ni \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}\mapsto \sum_{j=1}^k {a_j. m_j}$$

の核 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ の元のことを $m_1,m_2,\dots, m_k$ の関係式と呼び、 その全体のなす加群 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ のことを $m_1,m_2,\dots, m_k$ の関係式のなす加群と呼ぶ。

以下では、次のような変換を考える。

変換1.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ の順序を入れ換える。

変換2.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ の代わりに それを $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in {\operatorname{GL}}_2(A)$ で「ひねった」

$$\{a. m_1+b.m_2,c.m_1+ d.m_2,m_3,\dots,m_k\}$$

を考える。

変換3.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ の代わりに $m_1$ を

$$m_1'= m_1+ a_2 m_2+ a_3 m_3 + \dots m_k m_k$$

に置き換えたもの $\{m_1', m_2,m_3,\dots, m_k\}$ を考える。

(変換3)は(変換1), (変換2)を有限回組み合わせて得られることが わかるので 以下の議論で必須ではない。

補題 7.2 (変換1)   ,(変換2),(変換3)の形の変換は(同じ形の)逆変換をもつ。 とくに、 $m_1,m_2,\dots, m_k$ が $M$ を生成するならば、それに (変換1),(変換2),(変換3) を有限回繰り返して得られた組み合わせ $m_1',m_2',\dots, m_k'$ も $M$ を生成する。

補題 7.3   可換 PID $A$ と、その上の加群 $M$ が与えられていて、 $M$ は $A$ 上 $m_1,m_2,\dots, m_k$ で生成されているとする。 $m_1,m_2,\dots, m_k$ を(変換1), (変換2), (変換3) を 有限回繰り返して得られる $M$ の生成系 の全体を $\mathcal S$ とおく。このとき、

1. 各 $\underline{m'}=\{m_j'\}\in \mathcal S$ にたいして、
   $$I_{\underline{m'}}= \{c_1\in A; \sum_j c_j m_k \in M\qquad (\exists c_2,c_3,\dots c_k \in A) \}$$
   とおくと、 $I_{\underline{m'}}$ は $A$ のイデアルである。
2. $\{I_{\underline{m'}}; \quad m' \in \mathcal S\}$ のなかで(包含順序に関して) 極大なものが存在する。 その一つを以下 $J_{\underline{v}}$ と書こう。
3. $J_{\underline v}=A c$ となる $c$ が存在する。 $c=0$ なら $M$ は自由加群である。 以下、$c\neq 0$ とする。

4. $$a_1 v_1 +a_2 v_2 \dots + a_k v_k=0 \qquad (a_1=c)$$
   なる関係式が存在する。
5. 上の $a_1,a_2,a_3,\dots, a_k$ は $c$ で割り切れる。 (すなわち、$A c$ の元である。)
6. $\underline u\in \mathcal S$ で、 $c u_1=0$ なるものが存在する。
7. 上のような $\underline u$ の間に成り立つ任意の関係式
   $$\sum_j c_j u_j=0$$
   にたいして、各 $c_j$ は $c$ で割り切れる。
8. 上の $\underline u$ にたいして、 $M$ は $A u_1$ と $A u_2+\dots+ A u_k$ の直和と同型である。

上の補題のような $M$ と $m_1,m_2,\dots m_k$ が与えられたとき、 $c$ に当たるものの候補を見付け、 もしそれが「本物」ではない場合には証明にあるような操作を用いて 生成元の変換を逐次行うことにより、$u$ を求めるアルゴリズムを 作成することができる。同様にして次の定理の $w$ を得るアルゴリズムも 得られる。

定理 7.4   可換 PID $A$ 上の有限生成加群 $M$ が与えられているとする。 このとき、$M$ の生成系 $\underline{m}=\{m_1,m_2,\dots, m_k\}$ にたいして、 $\underline m$ を(変換1),(変換2),(変換3)を有限回繰り返すことにより、 $M$ の新しい生成系 $\underline w$ であって、

$$M \cong Aw_1 \oplus A w_2 \oplus \dots A w_k$$

となるものが存在する。

定義 7.5   一つの元で生成される加群を巡回加群と呼ぶ。

補題 7.6   任意の環 $A$ に対して、次のことが言える。

1. 任意の $A$ の左イデアル $J$ にたいして、 $A/J$ は巡回加群である。
2. 任意の巡回加群は(1)で述べたようなものと同型である。

命題 7.7 (定理の言い換え)   可換 PID $A$ 上の任意の有限生成加群 $M$ は巡回 $A$ 加群の直和に同型である。 ゆえに、ある $c_1,c_2,\dots, c_k \in A^k$ と

$$M\cong A/Ac_1 \oplus A/A c_2 \oplus \dots \oplus A/A c_k$$

なる同型が存在する。

(ただの)加群は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -加群のことと同じであって、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は $PID$ であることから、 つぎの(大変有用かつ重要な)系が成り立つ。

系 7.8 (有限生成アーベル群の基本定理)   任意の有限生成アーベル群は巡回群の有限個の直和である。

問題 7.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -加群 $M$ が2つの元 $m_1,m_2$ で生成されていて、次の関係式を満たすとする。

$$30 m_1 + 48 m_2=0$$

$$88 m_1 + 100 m_2=0$$

これ以外に特段の関係式がないとするとき、$m_1,m_2$ に(変換1),(変換2),(変換3) を有限回施すことにより、新しい生成元 $w_1,w_2$ を得て、 $M$ を巡回加群の直和として表現せよ。

復習:

命題 7.9   可換 PID $A$ の元 $a,b$ に対して、イデアル $A a + A b$ は ある単項イデアル $A d$ と等しい。このとき、ある $a',b',x,y$ が存在して、 次の二式が成り立つ。

1. $a= a' d$ ,    $b=b' d$ .
2. $a' x + b' y =1$ .

とくに、

$$\begin{pmatrix} a' & b' \\ -y & x \end{pmatrix}$$

は $\operatorname{SL}_2(A)(\subset {\operatorname{GL}}_2(A))$ の元である。

命題 7.10   可換 PID $A$ のイデアルの増加列

$$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset I_4 \subset \dots$$

は必ず有限で止まる。すなわち、ある $N$ があって、

$$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\dots$$

が成り立つ。