代数学 II 要約 NO.8

第 8 回目の主題 : PID 上の有限生成加群 (続き)

可換環 A 上の加群 M の元 m_{1}, m_{2}, …, m_{k} にたいして、次のような変換を考えていた。 (変換 1) {m_{1}, m_{2}, m_{3}, …, m_{k}} の順序を入れ換える。

(変換 2) \{m_{1}, m_{2}, m_{3}, …, m_{k}\} の代わりにそれを (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ GL_{2}(A) で「ひねった」

{a.m_{1} + b.m_{2}, c.m_{1} + d.m_{2}, m_{3}, …, m_{k}}

を考える。 (変換 3) {m_{1}, m_{2}, m_{3}, …, m_{k}} の代わりに m_{1} を

m′_{1} = m_{1} + a_{2}m_{2} + a_{3}m_{3} + … m_{k}m_{k}

に置き換えたもの {m′_{1}, m_{2}, m_{3}, …, m_{k}} を考える。

手順 8.1. 可換 PID A と、その上の加群 M が与えられていて、 M は A 上 m_{1}, m_{2}, …, m_{k} で生成されているとする。 m_{1}, m_{2}, …, m_{k} を (変換 1), (変換 2), (変換 3) を有限回繰り返して得られる M の生成系の全体を 𝒮 とおく。このとき、

(1) 次の操作をストップするまで繰り返し、\underline{w} = \{w_{1}, w_{2}, … w_{k}\} ∈ 𝒮 を得る。

(a)

c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} ⋯ + c_{k}v_{k} = 0

なる関係式をひとつ見つけてくる。このような関係式で非自明なものが存在しないならば M は自由加群である。もし存在するならば、 (変換 1) をくり返して、 c_{1} ≠ 0 としてよい。

(b) 上の v に (変換 1), (変換 2) を繰り返すことにより、 c_{1}w_{1} = 0 なる関係式をもつ {w_{1}, w_{2}, …, w_{k}} ∈ 𝒮 を見つけることができる。

(c) w_{1}, w_{2}, …, w_{n} の関係式

∑_{j} a_{j}w_{j}

のうち、 a_{1} が c_{1} で割り切れないものがもしなければ、ここでストップする。あれば、 c_{1} と a_{1} の gcd d_{1} にたいして、ある d_{2}, d_{3}, …, d_{k} ∈ A を見つけて、

∑ d_{j}w_{j} = 0

なる関係式を見つけることができる。 {w_{j}} を v の代わりに採用して、 (1) へ。

命題 7.10 により、以上の操作は必ず有限回でストップする。

(2) この時点で、 M = Aw_{1} ⊕ (Aw_{2} + ⋯ + Aw_{k}) と直和分解されるので、 M′ = Aw_{2}, … Aw_{k} に対して同様の操作を繰り返す。

上の手順で M を定理 7.4 にあるように直和分解できるが、その際の w は、補題 7.3 の (2) で言われるような極大性の条件を満足するとは限らない。その要求を満たすには次の補題のようなステップが必要になる。応用上は定理 7.4 の形で十分なことが多いので詳細は略す。

補題 8.2. PID 上の加群 M が二つの元 m_{1}, m_{2} で生成されていて、その関係式が、

a_{1}m_{1} = 0, a_{2}m_{2} = 0

で与えられているとき、 (言い換えると、 M ≅ A/Aa_{1} ⊕ A/Aa_{2} のとき、 ) 命題 7.9 のように d = gcd(a, b), a′, b′, x, y を選んで、

m̄_{1} = a′_{1}m_{1} + a′_{2}m_{2}, m̄_{2} = −ym_{1} + xm_{2}

のように変換 (変換 2) を施すと、 m̄_{1}, m̄_{2} の関係式は

dm̄_{1} = 0, lm̄_{2} = 0 (l = lcm(a_{1}, a_{2}) = a_{1}a_{2}/d)

であたえられる。

問題 8.1. 命題 7.7 を用いて、可換 PID A 上の有限生成自由加群 F の有限生成部分加群は自由加群であることを示しなさい。